в урна 20 белых и 20 чёрных шаров. вынули 5 шаров, причём каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешиваем. найдите вероятность того…

Чтобы решить задачу о вероятности вытащить 3 белых шара из 5, мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как каждое вытаскивание шара является независимым событием.

Шаг 1: Определим параметры задачи

• Общее количество белых шаров: \( n_w = 20 \)
• Общее количество черных шаров: \( n_b = 20 \)
• Общее количество шаров в урне: \( n = n_w + n_b = 20 + 20 = 40 \)
• Мы извлекаем 5 шаров.
• Необходимое количество белых шаров, которые мы хотим получить: \( k = 3 \)

Шаг 2: Вычислим вероятность извлечения белого шара

Вероятность того, что мы вынем белый шар при одном извлечении, равна: \[ P(B) = \frac{n_w}{n} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \] А вероятность извлечения черного шара: \[ P(B') = \frac{n_b}{n} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения

Вероятность получить ровно \( k \) успехов (в нашем случае белых шаров) в \( n \) испытаниях (вытаскиваниях) можно выразить через формулу: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p)^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который считается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха (вытянуть белый шар)

Шаг 4: Подставим значения

В нашем случае:

• \( n = 5 \) (общее количество извлечений)
• \( k = 3 \) (необходимое количество белых шаров)
• \( p = \frac{1}{2} \)

Биномиальный коэффициент для нашего случая: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (p)^3 \cdot (1 - p)^{5 - 3} \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

Упрощаем: \[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3 + 2} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

Ответ

Вероятность того, что из пяти вынутых шаров окажется 3 белых, равна \( \frac{5}{16} \).