Чтобы решить задачу о вероятности вытащить 3 белых шара из 5, мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как каждое вытаскивание шара является независимым событием.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- Общее количество белых шаров: ( n_w = 20 )
- Общее количество черных шаров: ( n_b = 20 )
- Общее количество шаров в урне: ( n = n_w + n_b = 20 + 20 = 40 )
- Мы извлекаем 5 шаров.
- Необходимое количество белых шаров, которые мы хотим получить: ( k = 3 )
Шаг 2: Вычислим вероятность извлечения белого шара
Вероятность того, что мы вынем белый шар при одном извлечении, равна:
[
P(B) = \frac{n_w}{n} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}
]
А вероятность извлечения черного шара:
[
P(B') = \frac{n_b}{n} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}
]
Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения
Вероятность получить ровно ( k ) успехов (в нашем случае белых шаров) в ( n ) испытаниях (вытаскиваниях) можно выразить через формулу:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot (p)^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который считается как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( p ) — вероятность успеха (вытянуть белый шар)
Шаг 4: Подставим значения
В нашем случае:
- ( n = 5 ) (общее количество извлечений)
- ( k = 3 ) (необходимое количество белых шаров)
- ( p = \frac{1}{2} )
Биномиальный коэффициент для нашего случая:
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (p)^3 \cdot (1 - p)^{5 - 3}
]
[
P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2
]
Упрощаем:
[
P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3 + 2} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}
]
Ответ
Вероятность того, что из пяти вынутых шаров окажется 3 белых, равна ( \frac{5}{16} ).
