Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, которое описывает вероятность успеха в фиксированном числе независимых испытаний.
Параметры задачи
- n (количество испытаний) = 400
- k (количество успехов) = 104
- p (вероятность успеха в каждом испытании) = 0.2
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз (в нашем случае 104 раза) из n испытаний, можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- (C(n, k)) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
- (p^k) — вероятность наступления события ровно k раз.
- ((1-p)^{n-k}) — вероятность того, что событие не наступило в оставшихся (n-k) испытаниях.
Шаги решения
- Вычисление биномиального коэффициента (C(400, 104)):
[
C(400, 104) = \frac{400!}{104! \cdot (400 - 104)!}
]
Вычисление (p^k) и ((1-p)^{n-k}):
- (p^k = (0.2)^{104})
- (1 - p = 0.8)
- ((1-p)^{n-k} = (0.8)^{400-104} = (0.8)^{296})
Собрать все части вместе:
[
P(X = 104) = C(400, 104) \cdot (0.2)^{104} \cdot (0.8)^{296}
]
Вычисления
Теперь давайте начнем с биномиального коэффициента. Такой расчёт обычно требует использования программного обеспечения или калькулятора, потому что числа очень большие и могут вызвать переполнение.
Пример расчёта с помощью Python
Вот пример кода на Python, который может помочь сделать расчеты, если у вас есть доступ к среде выполнения:
from math import comb
n = 400
k = 104
p = 0.2
q = 1 - p
# биномиальный коэффициент
binom_coeff = comb(n, k)
# вычисление вероятности
probability = binom_coeff * (p ** k) * (q ** (n - k))
# округление до десяти тысячных
rounded_probability = round(probability, 4)
print(rounded_probability)
Заключение
В результате выполнения данной программы вы получите значение вероятности наступления события ровно 104 раза при 400 испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2. Не забудьте округлить результат до нужного числа знаков после запятой.
