найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2. ответ округлите до десятитысячных
Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, которое описывает вероятность успеха в фиксированном числе независимых испытаний.
Параметры задачи
- n (количество испытаний) = 400
- k (количество успехов) = 104
- p (вероятность успеха в каждом испытании) = 0.2
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз (в нашем случае 104 раза) из n испытаний, можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- \(p^k\) — вероятность наступления события ровно k раз.
- \((1-p)^{n-k}\) — вероятность того, что событие не наступило в оставшихся \(n-k\) испытаниях.
Шаги решения
- Вычисление биномиального коэффициента \(C(400, 104)\):
\[ C(400, 104) = \frac{400!}{104! \cdot (400 - 104)!} \]
Вычисление \(p^k\) и \((1-p)^{n-k}\):
- \(p^k = (0.2)^{104}\)
- \(1 - p = 0.8\)
- \((1-p)^{n-k} = (0.8)^{400-104} = (0.8)^{296}\)
Собрать все части вместе:
\[ P(X = 104) = C(400, 104) \cdot (0.2)^{104} \cdot (0.8)^{296} \]
Вычисления
Теперь давайте начнем с биномиального коэффициента. Такой расчёт обычно требует использования программного обеспечения или калькулятора, потому что числа очень большие и могут вызвать переполнение.
Пример расчёта с помощью Python
Вот пример кода на Python, который может помочь сделать расчеты, если у вас есть доступ к среде выполнения:
from math import comb
n = 400
k = 104
p = 0.2
q = 1 - p
# биномиальный коэффициент
binom_coeff = comb(n, k)
# вычисление вероятности
probability = binom_coeff * (p ** k) * (q ** (n - k))
# округление до десяти тысячных
rounded_probability = round(probability, 4)
print(rounded_probability)
Заключение
В результате выполнения данной программы вы получите значение вероятности наступления события ровно 104 раза при 400 испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2. Не забудьте округлить результат до нужного числа знаков после запятой.
