Найдите значение выражения
Для решения данной задачи найдем значение выражения:
\[ \frac{\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha}{5\sin \alpha \cdot \cos \alpha + 3} \]
при \(\tan \alpha = -2\).
Шаг 1: Выразим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) через \(\tan \alpha\)
Известно, что:
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
Подставим \(\tan \alpha = -2\):
\[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = -2 \cos \alpha \]
Шаг 2: Найдем \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\)
Так как \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), подставим \(\sin \alpha = -2 \cos \alpha\):
\[ (-2 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ 4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ 5 \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \]
Следовательно,
\[ \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Так как \(\sin \alpha = -2 \cos \alpha\), то:
\[ \sin \alpha = \pm \left(-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Шаг 3: Подставим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) в выражение
Найдем числитель:
\[ \sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \]
\[ = \frac{4}{5} - 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \]
Найдем знаменатель:
\[ 5 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + 3 = 5 \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 3 \]
\[ = 5 \left(-\frac{2}{5}\right) + 3 = -2 + 3 = 1 \]
Шаг 4: Вычисляем значение выражения
\[ \frac{\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha}{5 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + 3} = \frac{\frac{2}{5}}{1} = \frac{2}{5} \]
Ответ: \(\frac{2}{5}\).
