Найдите значение выражения

Для решения данной задачи найдем значение выражения: \[ \frac{\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha}{5\sin \alpha \cdot \cos \alpha + 3} \] при \(\tan \alpha = -2\). ### Шаг 1: Выразим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) через \(\tan \alpha\) Известно, что: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставим \(\tan \alpha = -2\): \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = -2 \cos \alpha \] ### Шаг 2: Найдем \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) Так как \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), подставим \(\sin \alpha = -2 \cos \alpha\): \[ (-2 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 5 \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \] Следовательно, \[ \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \] Так как \(\sin \alpha = -2 \cos \alpha\), то: \[ \sin \alpha = \pm \left(-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} \] ### Шаг 3: Подставим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) в выражение Найдем числитель: \[ \sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \] \[ = \frac{4}{5} - 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \] Найдем знаменатель: \[ 5 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + 3 = 5 \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 3 \] \[ = 5 \left(-\frac{2}{5}\right) + 3 = -2 + 3 = 1 \] ### Шаг 4: Вычисляем значение выражения \[ \frac{\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha}{5 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + 3} = \frac{\frac{2}{5}}{1} = \frac{2}{5} \] Ответ: \(\frac{2}{5}\).