6) Найдите интеграл от функции f(x) = e ^ (2x) - 5e ^ x + 6
Чтобы найти интеграл функции \( f(x) = e^{2x} - 5e^x + 6 \), выполните следующие шаги:
Разделите интеграл на суммы: Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Поэтому мы можем записать: \[ \int f(x) \, dx = \int (e^{2x} - 5e^x + 6) \, dx = \int e^{2x} \, dx - 5 \int e^x \, dx + \int 6 \, dx \]
Вычислите каждый интеграл по отдельности:
Для первого интеграла \( \int e^{2x} \, dx \): \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1 \] (где \( C_1 \) — постоянная интегрирования).
Для второго интеграла \( -5 \int e^x \, dx \): \[ -5 \int e^x \, dx = -5 e^x + C_2 \] (где \( C_2 \) — постоянная интегрирования).
Для третьего интеграла \( \int 6 \, dx \): \[ \int 6 \, dx = 6x + C_3 \] (где \( C_3 \) — постоянная интегрирования).
Соберите все части вместе: Объедините результаты, чтобы получить общий вид интеграла: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} - 5 e^x + 6x + C \] Здесь \( C \) — это общая постоянная интегрирования, полученная путем объединения \( C_1, C_2, \) и \( C_3 \).
Таким образом, окончательный ответ: \[ \int (e^{2x} - 5e^x + 6) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} - 5 e^x + 6x + C \]
