9. Решите неравенство: log_(1/2)(5x - 9) <= log_(1/2)(3x + 1)
Чтобы решить неравенство:
\[ \log_{1/2}(5x - 9) \leq \log_{1/2}(3x + 1) \]
начнем с того, что логарифм с основанием \( \frac{1}{2} \) является убывающей функцией. Это значит, что неравенство меняет знак, когда мы удаляем логарифмы.
Следовательно, можно записать:
\[ 5x - 9 \geq 3x + 1 \]
Теперь решим это неравенство:
- Переносим все члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:
\[ 5x - 3x \geq 1 + 9 \]
- Упрощаем:
\[ 2x \geq 10 \]
- Делим обе стороны на 2:
\[ x \geq 5 \]
Теперь нам нужно убедиться, что найденное значение \( x \geq 5 \) подходит под начальные условия логарифмов. Логарифм определен только для положительных аргументов. Это значит, что:
- \( 5x - 9 > 0 \)
- \( 3x + 1 > 0 \)
Рассмотрим первое неравенство:
\[ 5x - 9 > 0 \implies 5x > 9 \implies x > \frac{9}{5} \implies x > 1.8 \]
Теперь второе:
\[ 3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3} \implies x > -0.33 \]
Так как \( x \geq 5 \) сильнее, чем оба найденных условия (\( x > 1.8 \) и \( x > -0.33 \)), это условие будет определять область допустимых значений.
Итак, окончательный ответ:
\[ x \geq 5 \]
Таким образом, решение неравенства — это все значения \( x \), которые больше или равны 5.
