Чтобы решить неравенство:
[
\log_{1/2}(5x - 9) \leq \log_{1/2}(3x + 1)
]
начнем с того, что логарифм с основанием ( \frac{1}{2} ) является убывающей функцией. Это значит, что неравенство меняет знак, когда мы удаляем логарифмы.
Следовательно, можно записать:
[
5x - 9 \geq 3x + 1
]
Теперь решим это неравенство:
- Переносим все члены с ( x ) в одну сторону, а константы — в другую:
[
5x - 3x \geq 1 + 9
]
- Упрощаем:
[
2x \geq 10
]
- Делим обе стороны на 2:
[
x \geq 5
]
Теперь нам нужно убедиться, что найденное значение ( x \geq 5 ) подходит под начальные условия логарифмов. Логарифм определен только для положительных аргументов. Это значит, что:
- ( 5x - 9 > 0 )
- ( 3x + 1 > 0 )
Рассмотрим первое неравенство:
[
5x - 9 > 0 \implies 5x > 9 \implies x > \frac{9}{5} \implies x > 1.8
]
Теперь второе:
[
3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3} \implies x > -0.33
]
Так как ( x \geq 5 ) сильнее, чем оба найденных условия (( x > 1.8 ) и ( x > -0.33 )), это условие будет определять область допустимых значений.
Итак, окончательный ответ:
[
x \geq 5
]
Таким образом, решение неравенства — это все значения ( x ), которые больше или равны 5.
