Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 8 см . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно учесть как площадь основания, так и площади боковых граней. Давай разберем задачу шаг за шагом.

1. Понимание структуры пирамиды:

   • Правильная треугольная пирамида имеет треугольник в качестве основания и три треугольные боковые грани.
   • Обозначим высоту пирамиды как \( h = 8 \) см.

2. Находить сторону основания:

   • Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом \( 60^\circ \). Обозначим длину бокового ребра как \( l \).
   • В этом случае мы можем использовать тригонометрию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), радиусом описанной окружности \( R \) и наклонным ребром \( l \): \[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{l} \Rightarrow l = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \approx 9.24 \, \text{см}. \]

3. Находим радиус описанной окружности:

   • В правильном треугольнике радиус \( R \) описанной окружности выражается через сторону \( a \) основания: \[ R = \frac{a \sqrt{3}}{3}. \]
   • Поскольку \( R = l \cdot \cos(60^\circ) \): \[ \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

4. Находим сторону основания \( a \):

   • Из формулы \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \): \[ \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow a \sqrt{3} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = \frac{24}{3} = 8 \, \text{см}. \]

5. Находим площадь основания:

   • Площадь треугольника (основания): \[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \approx 27.71 \, \text{см}^2. \]

6. Находим площадь боковых граней:

   • Площадь одной боковой грани (равнобедренный треугольник) с высотой \( l \):
     • Высота боковой грани может найтись через Пифагорову теорему: \[ h_{бок} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{256}{3} - 16} = \sqrt{\frac{256 - 48}{3}} = \sqrt{\frac{208}{3}}. \]
   • Площадь одной боковой грани: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{бок} \Rightarrow 3 \times S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{\frac{208}{3}} = 12 \sqrt{\frac{208}{3}} \approx 12 \cdot 8.23 \approx 98.76. \]

7. Находим полную площадь поверхности:

   • Общая площадь поверхности: \[ S_{полная} = S_{осн} + 3 \cdot S_{бок} \approx 27.71 + 98.76 \approx 126.47 \, \text{см}^2. \]

В итоге, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет примерно \( 126.47 \, \text{см}^2 \).