Похожая задача 13. На концах легкого стержня длиной 4! укреплены неоольшие шары массой т и М, причем М > т (рис. 18.5, а). Стержень может вращаться без трения вокруг…
Похожая задача 13. На концах легкого стержня длиной 4! укреплены неоольшие шары массой т и М, причем М > т (рис. 18.5, а). Стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной трения вокруг горизонтальной оси , проходящей через его середину. Стержень с шарами удерживают в покое в горизонтальном положении и в неко-торый момент отпускают без толчка.
Понять задачу поможет анализ с использованием законов сохранения механической энергии.
Дано:
- Стержень длиной \( L = 4 \) (условный параметр, не имеющий единиц).
- На концах стержня закреплены шары массой \( m \) и \( M \), где \( M > m \).
- Система может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня.
- Стержень с шарами в покое в горизонтальном положении и затем отпускается.
Задача:
Определить поведение системы после того, как она отпущена.
Решение:
Шаг 1: Определение начальной потенциальной энергии
В начальной позиции, когда стержень горизонтален, потенциальная энергия системы обусловлена высотой подъема каждого шара относительно оси вращения. Эта высота равна половине длины стержня, то есть \( \frac{L}{2} = 2 \).
Начальная потенциальная энергия (PE) системы: \[ PE_{\text{нач}} = m \cdot g \cdot 2 + M \cdot g \cdot 2 = 2mg + 2Mg \]
Шаг 2: Сохранение механической энергии
Так как нет потерь на трение, можно применять закон сохранения механической энергии. Механическая энергия в начале (в момент отпускания) равна механической энергии в любой другой момент вращения.
Шаг 3: Динамика системы
Когда стержень начинает падать, потенциальная энергия будет преобразовываться в кинетическую энергию вращения.
Общая кинетическая энергия (KE) системы в любом положении: \[ KE = \frac{1}{2} I \omega^2 \] где \( I \) — момент инерции системы относительно оси вращения, а \( \omega \) — угловая скорость.
Момент инерции (\( I \)) для данной системы: \[ I = m \left(\frac{L}{2}\right)^2 + M \left(\frac{L}{2}\right)^2 = m \cdot 2^2 + M \cdot 2^2 = 4m + 4M \]
Шаг 4: Применение закона сохранения энергии
При переходе из горизонтального в вертикальное положение (максимальная точка динамики — когда \( PE = 0 \)):
\[ PE_{\text{нач}} = KE_{\text{макс}} \]
\[ 2mg + 2Mg = \frac{1}{2} (4m + 4M) \omega^2 \]
\[ 2g(m + M) = 2(m + M) \omega^2 \]
Откуда можно выразить \( \omega \): \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{2}} \]
Таким образом, максимальная угловая скорость системы определяется как \( \omega = \sqrt{\frac{g}{2}} \).
Вывод:
Система будет вращаться, причем кинетическая энергия увеличивается за счет уменьшения потенциальной энергии. Угловая скорость будет максимальной в нижней точке, где вся потенциальная энергия превратится в кинетическую.
