Для решения данной задачи мы будем использовать вероятностный подход. Нам нужно выяснить, сколько бросков требуется, чтобы вероятность попадания в центр мишени была не менее 0,6.
Шаг 1: Определение вероятности промаха
Спортсмен попадает в цель с вероятностью 0,2 на каждом броске. Следовательно, вероятность промаха (не попасть в цель) будет:
[ P(\text{промах}) = 1 - P(\text{попадание}) = 1 - 0,2 = 0,8 ]
Шаг 2: Вероятность хотя бы одного попадания
Чтобы найти вероятность того, что спортсмен попадёт в цель хотя бы один раз, мы используем комплементарный подход. Вероятность того, что спортсмен не попадёт ни разу за ( n ) бросков будет равна:
[ P(\text{нет попаданий за } n \text{ бросков}) = P(\text{промах})^n = 0,8^n ]
Следовательно, вероятность того, что спортсмен попадёт в цель хотя бы один раз за ( n ) бросков равна:
[ P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{нет попаданий}) = 1 - 0,8^n ]
Шаг 3: Установка условия
Теперь мы хотим, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее 0,6:
[ 1 - 0,8^n \geq 0,6 ]
Шаг 4: Решение неравенства
Решим это неравенство:
[
1 - 0,8^n \geq 0,6
]
Переносим 1 в правую часть:
[
-0,8^n \geq -0,4
]
Умножаем обе стороны на -1 (не забываем поменять знак на противоположный):
[
0,8^n \leq 0,4
]
Шаг 5: Логарифмическое преобразование
Теперь найдём ( n ) с помощью логарифма:
[
n \log(0,8) \leq \log(0,4)
]
Итак, делим обе стороны на ( \log(0,8) ) (так как этот логарифм отрицательный, знак неравенства изменится):
[
n \geq \frac{\log(0,4)}{\log(0,8)}
]
Шаг 6: Подсчёт
Посчитаем значения логарифмов:
- Приблизительно ( \log(0,4) \approx -0,3979 )
- Приблизительно ( \log(0,8) \approx -0,0969 )
Теперь подставим эти значения:
[
n \geq \frac{-0,3979}{-0,0969} \approx 4,1
]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем вверх:
[
n \geq 5
]
Вывод
Таким образом, спортсмен должен совершить как минимум 5 бросков, чтобы вероятность попадания в цель была не менее 0,6.
