Спортсмен специализирующийся на игре в дартс бросает дротик в центр мишени до тех пор пока не попадёт в него известно что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом…

Для решения данной задачи мы будем использовать вероятностный подход. Нам нужно выяснить, сколько бросков требуется, чтобы вероятность попадания в центр мишени была не менее 0,6.

Шаг 1: Определение вероятности промаха

Спортсмен попадает в цель с вероятностью 0,2 на каждом броске. Следовательно, вероятность промаха (не попасть в цель) будет:

\[ P(\text{промах}) = 1 - P(\text{попадание}) = 1 - 0,2 = 0,8 \]

Шаг 2: Вероятность хотя бы одного попадания

Чтобы найти вероятность того, что спортсмен попадёт в цель хотя бы один раз, мы используем комплементарный подход. Вероятность того, что спортсмен не попадёт ни разу за \( n \) бросков будет равна:

\[ P(\text{нет попаданий за } n \text{ бросков}) = P(\text{промах})^n = 0,8^n \]

Следовательно, вероятность того, что спортсмен попадёт в цель хотя бы один раз за \( n \) бросков равна:

\[ P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{нет попаданий}) = 1 - 0,8^n \]

Шаг 3: Установка условия

Теперь мы хотим, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее 0,6:

\[ 1 - 0,8^n \geq 0,6 \]

Шаг 4: Решение неравенства

Решим это неравенство:

\[ 1 - 0,8^n \geq 0,6 \]

Переносим 1 в правую часть:

\[ -0,8^n \geq -0,4 \]

Умножаем обе стороны на -1 (не забываем поменять знак на противоположный):

\[ 0,8^n \leq 0,4 \]

Шаг 5: Логарифмическое преобразование

Теперь найдём \( n \) с помощью логарифма:

\[ n \log(0,8) \leq \log(0,4) \]

Итак, делим обе стороны на \( \log(0,8) \) (так как этот логарифм отрицательный, знак неравенства изменится):

\[ n \geq \frac{\log(0,4)}{\log(0,8)} \]

Шаг 6: Подсчёт

Посчитаем значения логарифмов:

• Приблизительно \( \log(0,4) \approx -0,3979 \)
• Приблизительно \( \log(0,8) \approx -0,0969 \)

Теперь подставим эти значения:

\[ n \geq \frac{-0,3979}{-0,0969} \approx 4,1 \]

Так как \( n \) должно быть целым числом, округляем вверх:

\[ n \geq 5 \]

Вывод

Таким образом, спортсмен должен совершить как минимум 5 бросков, чтобы вероятность попадания в цель была не менее 0,6.