Исследуйте функции на монотонность и экстремум a) y = -3x² 6x - 12 б) у = 8/3-x³ 11x²-6x+4

Для того чтобы исследовать функции на монотонность и экстремумы, мы будем использовать производные. Рассмотрим обе функции по отдельности. ### a) \( y = -3x^2 + 6x - 12 \) 1. **Найдём производную:** Чтобы найти монотонность функции, начнём с нахождения производной: \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x - 12) \] Применяем правила дифференцирования: \[ y' = -6x + 6 \] 2. **Найдём точки, где производная равна нулю:** Устанавливаем производную равной нулю, чтобы найти критические точки: \[ -6x + 6 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ 6x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] 3. **Определим знак производной:** Теперь нужно определить знак производной в интервалах, полученных из критической точки \( x = 1 \): - \( x < 1 \): Подберём, например, \( x = 0 \): \( y'(0) = -6(0) + 6 = 6 \) (положительно) - \( x > 1 \): Подберём, например, \( x = 2 \): \( y'(2) = -6(2) + 6 = -6 \) (отрицательно) Таким образом: - \( y' > 0 \) на интервале \( (-\infty, 1) \) → функция возрастает. - \( y' < 0 \) на интервале \( (1, +\infty) \) → функция убывает. 4. **Экстремум:** Поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательное в точке \( x = 1 \), в этой точке находится максимум. Найдём значение функции в точке максимума: \[ y(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 12 = -3 + 6 - 12 = -9 \] **Итак, максимум функции \( y \) равен -9 в точке \( x = 1 \).** ### б) \( y = \frac{8}{3} - x^3 + 11x^2 - 6x + 4 \) 1. **Найдём производную:** Сначала находим производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{3} - x^3 + 11x^2 - 6x + 4\right) \] \[ y' = -3x^2 + 22x - 6 \] 2. **Найдём критические точки:** Устанавливаем производную равной нулю: \[ -3x^2 + 22x - 6 = 0 \] Умножим всё на -1, чтобы упростить: \[ 3x^2 - 22x + 6 = 0 \] Теперь используем формулу квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 3, b = -22, c = 6 \): \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 72}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{412}}{6} \] \[ 412 = 4 \cdot 103 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{412} = 2\sqrt{103} \] Тогда: \[ x = \frac{22 \pm 2\sqrt{103}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{103}}{3} \] 3. **Определим знак производной:** Мы имеем два критических значения. Определим знак производной на интервалах, созданных этими точками (для этого можно подставить значения из промежутков в производную). 4. **Экстремумы:** Экстремумы будут находиться в найденных критических точках. Чтобы определить, максимумы это или минимумы, используйте тест первого производного или второго производного. Если \( y'' \) положительно, то это будет минимум, если отрицательно - максимум. \[ y'' = -6x + 22 \] Эти шаги помогут вам исследовать функцию на монотонность и экстремумы. Вы можете подставить полученные критические точки в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.