Исследуйте функции на монотонность и экстремум a) y = -3x² 6x - 12 б) у = 8/3-x³ 11x²-6x+4
Для того чтобы исследовать функции на монотонность и экстремумы, мы будем использовать производные. Рассмотрим обе функции по отдельности.
a) \( y = -3x^2 + 6x - 12 \)
Найдём производную:
Чтобы найти монотонность функции, начнём с нахождения производной:
\[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x - 12) \]
Применяем правила дифференцирования:
\[ y' = -6x + 6 \]
Найдём точки, где производная равна нулю:
Устанавливаем производную равной нулю, чтобы найти критические точки:
\[ -6x + 6 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ 6x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Определим знак производной:
Теперь нужно определить знак производной в интервалах, полученных из критической точки \( x = 1 \):
- \( x < 1 \): Подберём, например, \( x = 0 \): \( y'(0) = -6(0) + 6 = 6 \) (положительно)
- \( x > 1 \): Подберём, например, \( x = 2 \): \( y'(2) = -6(2) + 6 = -6 \) (отрицательно)
Таким образом:
- \( y' > 0 \) на интервале \( (-\infty, 1) \) → функция возрастает.
- \( y' < 0 \) на интервале \( (1, +\infty) \) → функция убывает.
Экстремум:
Поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательное в точке \( x = 1 \), в этой точке находится максимум.
Найдём значение функции в точке максимума:
\[ y(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 12 = -3 + 6 - 12 = -9 \]
Итак, максимум функции \( y \) равен -9 в точке \( x = 1 \).
б) \( y = \frac{8}{3} - x^3 + 11x^2 - 6x + 4 \)
Найдём производную:
Сначала находим производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{3} - x^3 + 11x^2 - 6x + 4\right) \]
\[ y' = -3x^2 + 22x - 6 \]
Найдём критические точки:
Устанавливаем производную равной нулю:
\[ -3x^2 + 22x - 6 = 0 \]
Умножим всё на -1, чтобы упростить:
\[ 3x^2 - 22x + 6 = 0 \]
Теперь используем формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 3, b = -22, c = 6 \):
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 72}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{412}}{6} \]
\[ 412 = 4 \cdot 103 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{412} = 2\sqrt{103} \]
Тогда:
\[ x = \frac{22 \pm 2\sqrt{103}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{103}}{3} \]
Определим знак производной:
Мы имеем два критических значения. Определим знак производной на интервалах, созданных этими точками (для этого можно подставить значения из промежутков в производную).
Экстремумы:
Экстремумы будут находиться в найденных критических точках. Чтобы определить, максимумы это или минимумы, используйте тест первого производного или второго производного.
Если \( y'' \) положительно, то это будет минимум, если отрицательно - максимум.
\[ y'' = -6x + 22 \]
Эти шаги помогут вам исследовать функцию на монотонность и экстремумы. Вы можете подставить полученные критические точки в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.
