Вероятность пробоя цели стрелком при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность того, что после того, как будет сделано б выстрелов, цель будет поражена ровно 3 раза?

Давайте разберем задачу, используя подход к вероятностным расчетам и биномиальное распределение.

Условия задачи:

• Вероятность успеха (поражение цели при одном выстреле) \( p = 0,5 \).
• Количество выстрелов \( b \) (количество экспериментов).
• Мы хотим найти вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза.

Применяем биномиальное распределение

В данной задаче мы можем использовать формулу биномиального распределения, которая описывает вероятность получения \( k \) успешных исходов в \( n \) независимых испытаниях, где вероятность успеха в каждом испытании равна \( p \).

Формула для биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз.
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент: количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний, вычисляется по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

• \( p \) — вероятность успеха (в нашей задаче \( p = 0,5 \)).
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашей задаче это \( b \)).
• \( (1-p) \) — вероятность неудачи (в нашей задаче это также \( 0,5 \)).

Применение формулы

Подставим известные значения в формулу для поиска вероятности:

\[ P(X = 3) = \binom{b}{3} (0,5)^3 (0,5)^{b-3} \]

Упрощаем:

\[ P(X = 3) = \binom{b}{3} (0,5)^b \]

Итоговая формула

Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза после \( b \) выстрелов:

\[ P(X = 3) = \binom{b}{3} (0,5)^b \]

Пример

Если, например, \( b = 10 \):

1. Находим биномиальный коэффициент \( \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \).
2. Подставляем в формулу:

\[ P(X = 3) = 120 \cdot (0,5)^{10} = 120 \cdot \frac{1}{1024} ≈ 0,1172 \]

Это значит, что при \( 10 \) выстрелах вероятность поражения цели ровно 3 раза примерно равна \( 11,72\% \).

Таким образом, вы можете использовать данную формулу для расчета вероятности для любого значения \( b \). Если вам нужно больше пояснений или конкретные примеры, дайте знать!