Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим периметры каждого из четырех прямоугольников. Обозначим их следующим образом: - \( P_1 = 24 \) (периметр первого прямоугольника), - \( P_2 = 28 \) (периметр второго прямоугольника), - \( P_3 = 16 \) (периметр третьего прямоугольника), - \( P_4 \) (периметр четвертого прямоугольника), который мы хотим найти. ### Шаг 1: Определим ширину и высоту для каждого прямоугольника Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2 \times (a + b) \] где \( a \) — ширина, \( b \) — высота. Теперь для каждого прямоугольника мы можем выразить сумму ширины и высоты: - Для первого прямоугольника: \[ P_1 = 2 \times (a_1 + b_1) = 24 \implies a_1 + b_1 = 12 \] - Для второго прямоугольника: \[ P_2 = 2 \times (a_2 + b_2) = 28 \implies a_2 + b_2 = 14 \] - Для третьего прямоугольника: \[ P_3 = 2 \times (a_3 + b_3) = 16 \implies a_3 + b_3 = 8 \] Теперь у нас есть три уравнения, связывающих ширины и высоты каждого из трёх прямоугольников: 1. \( a_1 + b_1 = 12 \) 2. \( a_2 + b_2 = 14 \) 3. \( a_3 + b_3 = 8 \) ### Шаг 2: Определим параметры четвёртого прямоугольника Обратите внимание, что периметр всего большого прямоугольника, созданного из этих четырех меньших прямоугольников, будет равен сумме всех его ширин плюс сумме всех его высот, умноженной на 2. Это даст нам: \[ P_{\text{total}} = 2 \times (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4) \] где \( a_4 \) и \( b_4 \) — ширина и высота четвертого прямоугольника. ### Шаг 3: Связь между периметрами Заметим, что стороны соседних прямоугольников непосредственно взаимодействуют. Имейте в виду, что: - \( b_1 = b_4 \) (высота первого и четвертого совпадают), - \( b_2 = b_3 \) (высота второго и третьего совпадают), - \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \text{общая ширина} \), - \( b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = \text{общая высота} \). Таким образом, для четвертого прямоугольника мы можем выразить его периметр через два его параметра: \[ P_4 = 2 \times (a_4 + b_4) \] Но также мы знаем, что: \[ b_4 = 12 - a_1 \] \[ b_4 = 14 - a_2 \] \[ b_4 = 8 - a_3 \] ### Шаг 4: Рассчитаем периметр четвертого прямоугольника Точно сопоставив значения высоты и ширины, мы можем подставить их в уравнение для периметра. Давайте выразим \( a_4 \): \[ a_4 = 12 - b_1 = 12 - (12 - a_1) = a_1 \] Таким образом, мы можем выразить \( P_4 \) как: \[ P_4 = 2 \times (a_4 + b_4) = 2 \times (12 - a_1 + a_1) = 2 \times 12 = 24 \] ### Шаг 5: Подсчет Мы видим, что, используя значения \( P_1 \), \( P_2 \) и \( P_3 \), можем выразить, что всего периметры должны быть равны: - Тогда периметр четвёртого прямоугольника равен: \[ P_4 = 48 - (P_1 + P_2 + P_3) = 48 - (24 + 28 + 16) = 48 - 68 = 20 \] Таким образом, периметр четвёртого прямоугольника равен **20**.