Реши задачу

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими формулами, связанными с косинусом и синусом. Нам нужно найти \(\cos(\beta + \frac{\pi}{6})\), если \(\sin \beta = \frac{12}{13}\) и \(\beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)\).

Шаг 1: Найдите \(\cos \beta\)

Мы знаем, что \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). Отсюда:

\[ \sin^2 \beta = \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} \]

Подставим в основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{144}{169} + \cos^2 \beta = 1 \]

\[ \cos^2 \beta = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \]

\[ \cos \beta = \pm \frac{5}{13} \]

Поскольку \(\beta\) находится в интервале \(\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)\) (второй и третий квадранты), где косинус отрицателен, получаем:

\[ \cos \beta = -\frac{5}{13} \]

Шаг 2: Используйте формулу косинуса суммы

Формула для \(\cos(a + b)\) выглядит как:

\[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

Подставим \(a = \beta\) и \(b = \frac{\pi}{6}\):

\[ \cos(\beta + \frac{\pi}{6}) = \cos \beta \cos \frac{\pi}{6} - \sin \beta \sin \frac{\pi}{6} \]

Значения стандартных тригонометрических функций:

\[ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

Подставляем значения:

\[ \cos(\beta + \frac{\pi}{6}) = \left(-\frac{5}{13}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ = -\frac{5\sqrt{3}}{26} - \frac{12}{26} \]

\[ = -\frac{5\sqrt{3} + 12}{26} \]

Ответ:

\(\cos(\beta + \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\sqrt{3} + 12}{26}\)