Найти неопределённые интегралы: 1) ∫5dy/cos²y 2)e^5x dx 3)3(2x²-1)² dx

Давайте подробно рассмотрим каждый из указанных интегралов и разберёмся, как их решать.

1) \(\int \frac{5 \, dy}{\cos^2 y}\)

Этот интеграл можно переписать, используя известное соотношение. Заметим, что \(\frac{1}{\cos^2 y} = \sec^2 y\). Таким образом, наш интеграл можно представить как:

\[ \int 5 \sec^2 y \, dy \]

Теперь, мы знаем, что производная функции \(\tan y\) равна \(\sec^2 y\). Следовательно, интеграл принимает вид:

\[ \int 5 \sec^2 y \, dy = 5 \tan y + C, \]

где \(C\) - произвольная константа интегрирования.

Ответ:

\[ \int \frac{5 \, dy}{\cos^2 y} = 5 \tan y + C. \]

2) \(\int e^{5x} \, dx\)

Для решения этого интеграла мы используем правило интегрирования для экспоненциальной функции. Зная, что \(\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C\), где \(k\) - постоянная, в нашем случае \(k = 5\):

\[ \int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} + C. \]

Ответ:

\[ \int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} + C. \]

3) \(\int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx\)

Для решения этого интеграла мы воспользуемся методом подстановки. Обозначим \(u = 2x^2 - 1\), тогда найдем его производную:

\[ \frac{du}{dx} = 4x \quad \Rightarrow \quad du = 4x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{4x}. \]

Теперь, заменим \(x\) через \(u\). Из \(u = 2x^2 - 1 \Rightarrow 2x^2 = u + 1 \Rightarrow x^2 = \frac{u + 1}{2} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{u + 1}{2}}\).

Замена в интеграле не обходит простую задачу. Мы просто раскроем скобки и интегрируем:

\[ \int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx = 3 \int (4x^4 - 4x^2 + 1) \, dx = 3 \left( 4 \cdot \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^3}{3} + x \right) + C. \]

Это даёт:

\[ \int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx = \frac{12}{5}x^5 - 4x^3 + 3x + C. \]

Ответ:

\[ \int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx = \frac{12}{5}x^5 - 4x^3 + 3x + C. \]

Теперь вы можете использовать эти решения для дальнейшего изучения интегралов. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!