Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 12 минут, а Оле — ещё 3 минуты. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим некоторые переменные и будем работать по этапам. 1. **Обозначения:** - Пусть расстояние от места, где встретились Юра и Оля, до спортзала равно \( d_Y \) (для Юры). - Пусть расстояние от места, где встретились Юра и Оля, до магазина равно \( d_O \) (для Оли). - Пусть скорость Юры равна \( v_Y \), а скорость Оли — \( v_O \). 2. **Время, которое осталось Юре и Оле до своих пунктов назначения:** - Юре осталось идти 12 минут, т.е.: \[ d_Y = v_Y \cdot 12 \] - Оле осталось идти 3 минуты, т.е.: \[ d_O = v_O \cdot 3 \] 3. **Из условия видно, что они встретились в некотором моменте времени \( t \) минут после выхода. В этот момент каждый из них прошёл часть своего пути.** 4. **Зная скорости и время, можно выразить расстояния, которые они прошли до встречи:** - Расстояние, пройденное Юрой: \( d_Y - v_Y \cdot t \) - Расстояние, пройденное Олей: \( d_O - v_O \cdot t \) 5. **Так как они встречаются в одной и той же точке, расстояния, которые они прошли, равны:** \[ d_Y - v_Y \cdot t = d_O - v_O \cdot t \] 6. **Подставляем выражения для \( d_Y \) и \( d_O \):** \[ (v_Y \cdot 12) - v_Y \cdot t = (v_O \cdot 3) - v_O \cdot t \] 7. **Преобразуем уравнение:** \[ v_Y \cdot 12 - v_Y \cdot t = v_O \cdot 3 - v_O \cdot t \] \[ v_Y \cdot 12 - v_O \cdot 3 = v_Y \cdot t - v_O \cdot t \] \[ v_Y \cdot 12 - v_O \cdot 3 = t(v_Y - v_O) \] 8. **Теперь выразим \( t \):** \[ t = \frac{v_Y \cdot 12 - v_O \cdot 3}{v_Y - v_O} \] 9. **Рассмотрим момент в пространстве:** - Если мы зададим, что со скоростями можно считать \( v_Y = k \cdot v_O \) (для удобства, например, \( k = 2 \) — пусть Юра двигается в два раза быстрее), у нас будут скорости: - \( v_Y = 2v_O \) 10. **Подставляем:** \[ t = \frac{(2v_O) \cdot 12 - v_O \cdot 3}{(2v_O) - v_O} \] \[ t = \frac{24v_O - 3v_O}{v_O} = \frac{21v_O}{v_O} = 21 \] 11. **Итак, Юра и Оля встретились через 21 минуту после выхода!** Таким образом, ответ: Юра и Оля встретились через 21 минуту.