В игре участник выбирает одну из четырех коробок. В первой коробке находится 200 рублей, во второй - 400 рублей, в третьей - 600 рублей, а в четвертой - 800 рублей. Вероятность выбора каждой коробки равна. Каково математическое ожидание выигрыша участника?

Чтобы найти математическое ожидание выигрыша участника, нам нужно использовать формулу: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \( E(X) \) — математическое ожидание, \( x_i \) — возможные выигрыши, а \( P(x_i) \) — вероятность каждого выигрыша. В данном случае у нас есть четыре коробки с разными выигрышами: 1. Коробка 1: 200 рублей 2. Коробка 2: 400 рублей 3. Коробка 3: 600 рублей 4. Коробка 4: 800 рублей Вероятность выбора каждой коробки равна, то есть \( P(x_i) = \frac{1}{4} \) для каждой коробки (так как всего 4 коробки). Теперь подставим значения в формулу: 1. Выигрыш из первой коробки: - \( x_1 = 200 \) - \( P(x_1) = \frac{1}{4} \) 2. Выигрыш из второй коробки: - \( x_2 = 400 \) - \( P(x_2) = \frac{1}{4} \) 3. Выигрыш из третьей коробки: - \( x_3 = 600 \) - \( P(x_3) = \frac{1}{4} \) 4. Выигрыш из четвертой коробки: - \( x_4 = 800 \) - \( P(x_4) = \frac{1}{4} \) Теперь подставим все значения в формулу: \[ E(X) = (200 \cdot \frac{1}{4}) + (400 \cdot \frac{1}{4}) + (600 \cdot \frac{1}{4}) + (800 \cdot \frac{1}{4}) \] Теперь посчитаем каждый элемент: 1. \( 200 \cdot \frac{1}{4} = 50 \) 2. \( 400 \cdot \frac{1}{4} = 100 \) 3. \( 600 \cdot \frac{1}{4} = 150 \) 4. \( 800 \cdot \frac{1}{4} = 200 \) Теперь сложим все эти значения: \[ E(X) = 50 + 100 + 150 + 200 = 500 \] Таким образом, математическое ожидание выигрыша участника составляет **500 рублей**. Это означает, что в среднем участник может ожидать выиграть 500 рублей, если будет много раз выбирать коробки в этой игре.