В игре участник выбирает одну из четырех коробок. В первой коробке находится 200 рублей, во второй - 400 рублей, в третьей - 600 рублей, а в четвертой - 800 рублей. Вероятность…

Чтобы найти математическое ожидание выигрыша участника, нам нужно использовать формулу:

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \]

где \( E(X) \) — математическое ожидание, \( x_i \) — возможные выигрыши, а \( P(x_i) \) — вероятность каждого выигрыша.

В данном случае у нас есть четыре коробки с разными выигрышами:

1. Коробка 1: 200 рублей
2. Коробка 2: 400 рублей
3. Коробка 3: 600 рублей
4. Коробка 4: 800 рублей

Вероятность выбора каждой коробки равна, то есть \( P(x_i) = \frac{1}{4} \) для каждой коробки (так как всего 4 коробки).

Теперь подставим значения в формулу:

1. Выигрыш из первой коробки:

   • \( x_1 = 200 \)
   • \( P(x_1) = \frac{1}{4} \)

2. Выигрыш из второй коробки:

   • \( x_2 = 400 \)
   • \( P(x_2) = \frac{1}{4} \)

3. Выигрыш из третьей коробки:

   • \( x_3 = 600 \)
   • \( P(x_3) = \frac{1}{4} \)

4. Выигрыш из четвертой коробки:

   • \( x_4 = 800 \)
   • \( P(x_4) = \frac{1}{4} \)

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ E(X) = (200 \cdot \frac{1}{4}) + (400 \cdot \frac{1}{4}) + (600 \cdot \frac{1}{4}) + (800 \cdot \frac{1}{4}) \]

Теперь посчитаем каждый элемент:

1. \( 200 \cdot \frac{1}{4} = 50 \)
2. \( 400 \cdot \frac{1}{4} = 100 \)
3. \( 600 \cdot \frac{1}{4} = 150 \)
4. \( 800 \cdot \frac{1}{4} = 200 \)

Теперь сложим все эти значения:

\[ E(X) = 50 + 100 + 150 + 200 = 500 \]

Таким образом, математическое ожидание выигрыша участника составляет 500 рублей.

Это означает, что в среднем участник может ожидать выиграть 500 рублей, если будет много раз выбирать коробки в этой игре.