В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых всеми школьниками была наименышпей?
Для решения этой задачи будем использовать метод нахождения среднего положения для двух населённых пунктов, чтобы минимизировать расстояние, которое нужно пройти всем школьникам.
Дано:
- Около Старая Калитва — 50 школьников.
- Около Средние Болтаях — 100 школьников.
Цель:
Найти такое положение, где построить школу, чтобы сумма расстояний, которые проходят школьники, была наименьшей.
Решение:
Определим местоположение:
Предположим, что Старая Калитва находится в точке \(x_1\) и Средние Болтаях в точке \(x_2\). Для простоты давайте считать, что \(x_1 = 0\) (Старая Калитва) и \(x_2 = d\) (Средние Болтаях).Сумма расстояний:
Пусть школа расположена в точке \(x\), тогда расстояние до Старой Калитвы будет \( |x - x_1| = |x - 0| = x \) и расстояние до Средних Болтаях — \( |x - x_2| = |x - d| \).Суммарное расстояние, которое нужно пройти всем школьникам, можно выразить как: \[ S(x) = 50 \cdot |x - 0| + 100 \cdot |x - d| = 50x + 100|x - d| \]
Анализ функции:
Теперь мы должны рассмотреть два случая, в зависимости от того, расположена точка \(x\) относительно точки \(d\):Случай 1: Если \(x < d\): \[ S(x) = 50x + 100(d - x) = 50x + 100d - 100x = 100d - 50x \]
Случай 2: Если \(x \geq d\): \[ S(x) = 50x + 100(x - d) = 50x + 100x - 100d = 150x - 100d \]
Минимизация:
Теперь найдём экстремумы функции \(S(x)\):- Для первого случая, \(S(x)\) является убывающей функцией, следовательно, минимизируется при \(x = d\).
- Для второго случая, \(S(x)\) является возрастающей функцией, следовательно, минимизируется при \(x = d\).
Таким образом:
- На границе (в точке \(d\)) функция имеет точки, где возможно минимальное суммарное расстояние для школьников.
- Вывод:
Таким образом, для минимизации расстояний, необходимо построить школу в точке, которая делит расстояние \(d\) в пропорции количества школьников, т.е. в точке, которая разбивает этот отрезок по законону тяжести. Поскольку в Средних Болтаях больше учащихся, оптимальным местом для строительства школы будет более близкое расположение к ним.
Окончательный ответ:
Школу следует строить ближе к Средним Болтаям (100 школьников), в соответствии с положением, которое математически оптимально в рамках сниженных расстояний.
