в правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAB и SED

Чтобы найти косинус угла между плоскостями SAB и SED в правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, нам понадобятся координаты точек и векторы, лежащие в этих плоскостях.

1. Определение точек:

   • Основание шестиугольной пирамиды ABCDEF можно представить в декартовой системе координат. Пусть центр шестиугольника совпадает с началом координат.
   • Координаты вершин основания (плоскость ABCDEF) будут следующие:
     • A(1, 0, 0)
     • B(1/2, √3/2, 0)
     • C(-1/2, √3/2, 0)
     • D(-1, 0, 0)
     • E(-1/2, -√3/2, 0)
     • F(1/2, -√3/2, 0)

   Так как боковые рёбра равны 2, расположим точку S над центром шестиугольника на высоте, равной h. Для нахождения h используем теорему Пифагора. Поскольку S находится на высоте h и расстояние от S до любой точки A на основании составляет 2, то: \[ SA = \sqrt{h^2 + 1^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad h^2 + 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{3}. \] Таким образом, координаты S будут (0, 0, \( \sqrt{3} \)).

2. Векторы в плоскостях: Рассмотрим плоскости SAB и SED:

   • Для плоскости SAB нам нужны векторы:
     • \( \overrightarrow{SA} = A - S = (1, 0, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3}) \)
     • \( \overrightarrow{SB} = B - S = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}) \)

   Найдем нормальный вектор к плоскости SAB, используя векторное произведение: \[ \overrightarrow{n_{SAB}} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB}. \]

   Вычислим детерминант: \[ \overrightarrow{n_{SAB}} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix}. \]

   Это получается: \[ \hat{i} (0 \cdot (-\sqrt{3}) - \left(-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)) - \hat{j} (1 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2})) + \hat{k} (1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}). \] \[ = \hat{i} \left(\frac{3}{2}\right) - \hat{j} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \hat{k} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]

3. Для плоскости SED: Аналогично находим векторы:

   • \( \overrightarrow{SE} = E - S = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) - (0, 0, \sqrt{3}) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right) \)
   • \( \overrightarrow{SD} = D - S = (-1, 0, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3}) \)

   Находим нормальный вектор плоскости SED аналогичным образом: \[ \overrightarrow{n_{SED}} = \overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SD}. \]

   Вычисляем детерминант: \[ \overrightarrow{n_{SED}} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\ -1 & 0 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}. \]

   Это дает \[ \hat{i} \left((-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) - (0)(-\sqrt{3})\right) - \hat{j} \left(-\frac{1}{2}(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(-1)\right) + \hat{k} \left(-\frac{1}{2}(0) - (-\sqrt{3})(-1)\right). \] \[ = \hat{i} \left(\frac{3}{2}\right) - \hat{j} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\right) + \hat{k} \left(0 - \sqrt{3}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right). \]

4. Нахождение угла между плоскостями: Косинус угла между двумя плоскостями определяется как: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_{SAB}} \cdot \overrightarrow{n_{SED}}}{|\overrightarrow{n_{SAB}}| |\overrightarrow{n_{SED}}|}. \] Сначала находим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{n_{SAB}} \cdot \overrightarrow{n_{SED}} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right) = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9 + 3 - 6}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \]

   Теперь находим длины: \[ |\overrightarrow{n_{SAB}}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{ \frac{15}{4} } = \frac{\sqrt{15}}{2} \]

   \[ |\overrightarrow{n_{SED}}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 3} = \sqrt{ \frac{9 + 3 + 12}{4} } = \sqrt{ \frac{24}{4} } = \sqrt{6}. \]

   Теперь подставим в формулу: \[ \cos \theta = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{90}} = \frac{3}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}. \]

Таким образом, косинус угла между плоскостями SAB и SED равен \( \frac{1}{\sqrt{10}} \).