Решить

Давай разберёмся с контрольной работой. 1. Нужно разложить на множители квадратные трехчлены. а) \( x^2 + 2x - 15 \) Найдём корни квадратного трехчлена через дискриминант \( D \). \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -15 \). Получаем \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \). \( D > 0 \), значит уравнение имеет два различных корня. Корни уравнения находим по формулам \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Это даёт нам \( x_{1} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \) и \( x_{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \). Теперь уравнение можно представить как произведение двух скобок, где \( x \) равен найденным корням с противоположными знаками, так как в исходном уравнении коэффициент при \( x^2 \) положительный. Итак, получаем \( (x - 3)(x + 5) \). б) \( 2x^2 - x - 3 \) Снова используем метод дискриминанта. Коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \). \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \). Также \( D > 0 \), следовательно, уравнение имеет два корня. Находим корни: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} \). Получаем \( x_{1} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2} \) и \( x_{2} = \frac{1 - 5}{4} = -1 \). И представляем в виде произведения \( (2x - 3)(x + 1) \). 2. Переходим к уравнениям. а) \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \) Пусть \( y = x^2 \), тогда у нас получается квадратное уравнение \( y^2 - 5y - 36 = 0 \). Решаем для \( y \), ищем дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \). Корни уравнения: \( y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} \), откуда \( y_{1} = 9 \) и \( y_{2} = -4 \). Но \( y = x^2 \geq 0 \), поэтому \( y_{2} \) не подходит. Для \( y_{1} \) имеем: \( y = 9 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). б) \( \frac{x^2 - 10}{x + 2} = \frac{3x}{x + 2} \) Так как делители одинаковые и не равны нулю, просто приравняем числители: \( x^2 - 10 = 3x \). Получаем квадратное уравнение: \( x^2 - 3x - 10 = 0 \). Для него \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \). \( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \), значит, \( x_{1} = 5 \) и \( x_{2} = -2 \). Но \( x = -2 \) не подходит, так как на него не делится исходное уравнение (знаменатель обращается в ноль). Остаётся корень \( x = 5 \). Вот такая получилась контрольная, да? Если что-то непонятно, давай разберёмся вместе.