Для решения задачи, нам нужно найти значение ( a ) в уравнении ( 4x^2 + ax + 24 = 0 ), зная, что ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12} ).
Шаг 1: Используем формулу суммы и произведения корней
Согласно теореме Виета, если ( x ) и ( y ) — корни квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), то:
- Сумма корней: ( x + y = -\frac{b}{a} )
- Произведение корней: ( xy = \frac{c}{a} )
Для нашего уравнения ( 4x^2 + ax + 24 = 0 ):
- ( a = 4 )
- ( b = a )
- ( c = 24 )
Шаг 2: Применяем теорему Виета
Таким образом, для нашего уравнения мы имеем:
[
x + y = -\frac{a}{4}
]
[
xy = \frac{24}{4} = 6
]
Шаг 3: Используем выражение с обратными значениями корней
Из условия задачи известно, что:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12}
]
Это можно выразить через сумму и произведение корней следующим образом:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{-\frac{a}{4}}{6} = -\frac{a}{24}
]
Теперь приравняем это выражение к ( \frac{5}{12} ):
[
-\frac{a}{24} = \frac{5}{12}
]
Шаг 4: Решение уравнения для ( a )
Чтобы найти ( a ), мы можем решить уравнение:
- Умножим обе стороны на 24, чтобы избавиться от дроби:
[
-a = 24 \cdot \frac{5}{12}
]
- Упрощаем правую часть:
[
-a = 2 \cdot 5 = 10
]
- Умножим обе стороны на -1:
[
a = -10
]
Ответ
Значение ( a ) равно ( -10 ).
