Для того чтобы найти неопределенный интеграл ( \int x^3(1+5x) , dx ), начнем с того, что упростим выражение под интегралом. Мы можем сделать это, раскрыв скобки:
[
1 + 5x = x^3 + 5x^4
]
Теперь запишем интеграл:
[
\int x^3(1 + 5x) , dx = \int (x^3 + 5x^4) , dx
]
Теперь мы можем интегрировать каждую часть по отдельности. Напомним, что интеграл функции ( x^n ) равен ( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ), где ( C ) — произвольная постоянная.
Теперь интегрируем:
Интеграл от ( x^3 ):
[
\int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}
]
Интеграл от ( 5x^4 ):
[
\int 5x^4 , dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5
]
Теперь объединим результаты интегрирования:
[
\int (x^3 + 5x^4) , dx = \frac{x^4}{4} + x^5 + C
]
Таким образом, окончательный результат будет:
[
\int x^3(1+5x) , dx = \frac{x^4}{4} + x^5 + C
]
Где ( C ) — произвольная константа.
