Найти неопределённый интеграл ∫x³(1+5x)dx
Для того чтобы найти неопределенный интеграл \( \int x^3(1+5x) \, dx \), начнем с того, что упростим выражение под интегралом. Мы можем сделать это, раскрыв скобки:
\[ 1 + 5x = x^3 + 5x^4 \]
Теперь запишем интеграл:
\[ \int x^3(1 + 5x) \, dx = \int (x^3 + 5x^4) \, dx \]
Теперь мы можем интегрировать каждую часть по отдельности. Напомним, что интеграл функции \( x^n \) равен \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.
Теперь интегрируем:
Интеграл от \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \]
Интеграл от \( 5x^4 \): \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \]
Теперь объединим результаты интегрирования:
\[ \int (x^3 + 5x^4) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^5 + C \]
Таким образом, окончательный результат будет:
\[ \int x^3(1+5x) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^5 + C \]
Где \( C \) — произвольная константа.
