Найти неопределённый интеграл ∫dz/2sin²z

Чтобы найти неопределённый интеграл \( \int \frac{dz}{2 \sin^2 z} \), начнём с упрощения выражения.

1. Упростим интеграл: \[ \int \frac{dz}{2 \sin^2 z} = \frac{1}{2} \int \frac{dz}{\sin^2 z} \] Здесь мы выносим константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла.

2. Используем известное свойство функции: Зная, что \( \frac{1}{\sin^2 z} = \cot^2 z \), можно воспользоваться также тем, что \( \frac{1}{\sin^2 z} = \csc^2 z \). Но в данном случае, более полезно использовать тот факт, что: \[ \frac{d}{dz}(-\cot z) = \csc^2 z \]

3. Запишем интеграл с использованием производной: Таким образом, мы можем записать: \[ \int \csc^2 z \, dz = -\cot z + C \] Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

4. Вернёмся к нашему интегралу: Теперь подставим это в наш интеграл: \[ \frac{1}{2} \int \csc^2 z \, dz = \frac{1}{2} (-\cot z + C) = -\frac{1}{2} \cot z + \frac{C}{2} \]

5. Запишем окончательный ответ: Таким образом, окончательный ответ на интеграл будет записан как: \[ \int \frac{dz}{2 \sin^2 z} = -\frac{1}{2} \cot z + C \]

Это и есть решение задачи с полной пошаговой инструкцией. Если остались вопросы или непонятные моменты, не стесняйтесь спрашивать!