Даны два отрезка ЕК и РМ , концы которых Е(-4;2),К(-2;2),М(6;-6),Р(12;-10) . Найдите угол между векторами РЕ и ЕК .

Для решения задачи о нахождении угла между векторами \( \vec{РЕ} \) и \( \vec{ЕК} \), давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Определение векторов

Сначала найдем координаты векторов \( \vec{РЕ} \) и \( \vec{ЕК} \).

• Вектор \( \vec{РЕ} \) можно найти, вычитая координаты точки \( Е \) из координат точки \( Р \): \[ \vec{РЕ} = \vec{Р} - \vec{Е} = (12, -10) - (-4, 2) = (12 + 4, -10 - 2) = (16, -12) \]

• Вектор \( \vec{ЕК} \) можно также получить, вычитая координаты точки \( К \) из координат точки \( Е \): \[ \vec{ЕК} = \vec{К} - \vec{Е} = (-2, 2) - (-4, 2) = (-2 + 4, 2 - 2) = (2, 0) \]

Теперь у нас есть векторы:

• \( \vec{РЕ} = (16, -12) \)
• \( \vec{ЕК} = (2, 0) \)

Шаг 2: Использование формулы для нахождения угла между векторами

Угол \( \theta \) между двумя векторами \( \vec{A} \) и \( \vec{B} \) можно найти с помощью формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \]

где:

• \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) — скалярное произведение векторов,
• \( |\vec{A}| \) и \( |\vec{B}| \) — длины векторов.

Шаг 3: Находим скалярное произведение

Скалярное произведение векторов \( \vec{РЕ} \) и \( \vec{ЕК} \): \[ \vec{РЕ} \cdot \vec{ЕК} = (16)(2) + (-12)(0) = 32 + 0 = 32 \]

Шаг 4: Находим длины векторов

Теперь найдем длины векторов:

• Длина вектора \( \vec{РЕ} \): \[ |\vec{РЕ}| = \sqrt{16^2 + (-12)^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \]

• Длина вектора \( \vec{ЕК} \): \[ |\vec{ЕК}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]

Шаг 5: Подставляем значения в формулу

Теперь можем найти \( \cos(\theta) \): \[ \cos(\theta) = \frac{32}{20 \times 2} = \frac{32}{40} = 0.8 \]

Шаг 6: Нахождение угла

Чтобы найти угол \( \theta \), используем арккосинус: \[ \theta = \arccos(0.8) \]

Для вычисления значения \( \theta \), используйте калькулятор. Обычно, это значение округляется до нужного количества знаков. Угол \( \theta \) в радианах или градусах можно получить следующим образом:

• В градусах: \( \theta \approx 36.87^\circ \)

Ответ

Угол между векторами \( \vec{РЕ} \) и \( \vec{ЕК} \) составляет приблизительно \( 36.87^\circ \).