Интеграл от (x^2 + 3x + 5) dx по интервалу [1, 4]
Чтобы найти интеграл функции \( f(x) = x^2 + 3x + 5 \) по интервалу \([1, 4]\), мы выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл
Сначала мы найдем неопределенный интеграл функции \( f(x) \). Интегрирование выполняется по стандартным правилам:
\[ \int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
где \( C \) — произвольная константа.
Теперь, применим это к каждой части \( f(x) \):
Интегрируем \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \]
Интегрируем \( 3x \): \[ \int 3x \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{3x^2}{2} \]
Интегрируем \( 5 \): \[ \int 5 \, dx = 5x \]
Теперь, сложим все части интеграла:
\[ \int (x^2 + 3x + 5) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x + C \]
Шаг 2: Найдем определенный интеграл на заданном интервале
Теперь, чтобы найти определенный интеграл от 1 до 4, мы рассчитываем:
\[ \int_{1}^{4} (x^2 + 3x + 5) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x \right]_{1}^{4} \]
Теперь вычислим это значение, подставляя границы интегрирования.
Подстановка верхней границы \( x = 4 \):
\[ \left( \frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 5 \cdot 4 \right) = \left( \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 16}{2} + 20 \right) \]
Упрощаем: \[ = \frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 20 = \frac{64}{3} + 24 + 20 = \frac{64}{3} + 44 = \frac{64}{3} + \frac{132}{3} = \frac{196}{3} \]
Подстановка нижней границы \( x = 1 \):
\[ \left( \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 5 \cdot 1 \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 5 \right) \]
Упрощаем: \[ = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} + \frac{30}{6} = \frac{1}{3} + \frac{39}{6} \]
Приводим \( \frac{1}{3} \) к общему знаменателю 6: \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \] Таким образом: \[ = \frac{2}{6} + \frac{39}{6} = \frac{41}{6} \]
Шаг 3: Вычтем результаты подстановки
Теперь, чтобы найти значение определенного интеграла, вычтем результаты для нижней границы из результата для верхней границы:
\[ \int_{1}^{4} (x^2 + 3x + 5) \, dx = \frac{196}{3} - \frac{41}{6} \]
Приведем к общему знаменателю 6: \[ \frac{196}{3} = \frac{392}{6} \] Следовательно, \[ = \frac{392}{6} - \frac{41}{6} = \frac{351}{6} = 58.5 \]
Ответ
Итак, значение определенного интеграла от \( f(x) = x^2 + 3x + 5 \) на интервале \([1, 4]\) равно:
\[ \int_{1}^{4} (x^2 + 3x + 5) \, dx = 58.5 \]
