реши √(66-16√2+√2 ) заполни пропуски √(66-2•_√2)+√2=√(_-2•_√2+2)+√2=√((_-√2)²)+√2=_-√_+√_=
Решим задачу шаг за шагом.
Мы начинаем с выражения:
\[ \sqrt{66 - 16\sqrt{2} + \sqrt{2}} \]
Сначала упростим это выражение. Мы можем попробовать сгруппировать подкоренное выражение. Для этого обратим внимание на выражение \(66 - 16\sqrt{2} + \sqrt{2}\).
Посмотрим на \(66\) и \(16\sqrt{2}\). Полное выражение можно записать как:
\[ 66 - 15\sqrt{2} - \sqrt{2} = 66 - 15\sqrt{2} \]
Однако, это не совсем то, что нам нужно. Давайте полезем к форме \( (a - b\sqrt{2})^2\), чтобы записать выражение в удобной форме.
Мы знаем, что:
\[ (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{2} + 2b^2 \]
Попробуем представить \(66 - 16\sqrt{2}\) в виде \( (x - y\sqrt{2})^2\):
Подберем такие \(x\) и \(y\), что:
\[ x^2 + 2y^2 = 66 \quad \text{(1)} \] \[ 2xy = 16 \quad \text{(2)} \]
Из уравнения (2): \[ xy = 8 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8}{x} \]
Подставляем \(y\) в (1): \[ x^2 + 2\left(\frac{8}{x}\right)^2 = 66 \] \[ x^2 + \frac{128}{x^2} = 66 \]
Умножим обе стороны на \(x^2\): \[ x^4 - 66x^2 + 128 = 0 \]
Обозначим \(z = x^2\): \[ z^2 - 66z + 128 = 0 \] Находим корни с помощью дискриминанта: \[ D = (-66)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 128 = 4356 - 512 = 3844 \] \[ z = \frac{66 \pm \sqrt{3844}}{2} \] \[ z = \frac{66 \pm 62}{2} \]
Корни: \[ z_1 = \frac{128}{2} = 64 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{4}{2} = 2 \] Следовательно \(x^2 = 64\) или \(x^2 = 2\), а значит \(x = 8\) или \(x = \sqrt{2}\).
Если \(x = 8\), то: \[ y = \frac{8}{8} = 1 \]
Таким образом, мы имеем: \[ (8 - \sqrt{2})^2 = 64 - 16\sqrt{2} + 2 = 66 - 16\sqrt{2} \]
Теперь можем выразить начальное выражение: \[ \sqrt{66 - 16\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \sqrt{(8 - \sqrt{2})^2 + \sqrt{2}} = \sqrt{(8 - 4\sqrt{2})^2} \]
Теперь возвращаемся к начальной формуле, заполняя пропуски: \[ \sqrt{66 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{2}} + \sqrt{2} = \sqrt{(8 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{2} = 8 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 8 \]
Таким образом, на выходе получается ответ:
\[ \sqrt{66 - 16\sqrt{2} + \sqrt{2}} = 8 \]
Подводя итог, по шагам мы получили \( \sqrt{66 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{2}} + \sqrt{2} = 8\).
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу! Если есть еще вопросы, обязательно задавайте!
