Для решения задачи рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом ( a_1 = 7 ) и разностью ( d ).
Обозначим количество членов арифметической прогрессии как ( n ).
Шаг 1: Запись данных о суммах
Сумма первых трех членов арифметической прогрессии:
[
S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 7 + (7 + d) + (7 + 2d) = 7 + 7 + d + 7 + 2d = 21 + 3d
]
По условию, ( S_3 = 27 ):
[
21 + 3d = 27
]
Решим это уравнение для нахождения разности ( d ):
[
3d = 27 - 21
]
[
3d = 6 \quad \Rightarrow \quad d = 2
]
Шаг 2: Запись последних трех членов
Теперь найдем выражение для последних трех членов прогрессии. Последние три члена прогрессии можно записать так:
[
a_{n-2} = a_1 + (n-3)d = 7 + (n-3) \cdot 2
]
[
a_{n-1} = a_1 + (n-2)d = 7 + (n-2) \cdot 2
]
[
a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (n-1) \cdot 2
]
Сложим последние три члена:
[
S_{\text{последние 3}} = a_{n-2} + a_{n-1} + a_n
]
Подставим полученные выражения:
[
S_{\text{последние 3}} = (7 + (n-3) \cdot 2) + (7 + (n-2) \cdot 2) + (7 + (n-1) \cdot 2)
]
В упрощенном виде это будет:
[
S_{\text{последние 3}} = 7 + 7 + 7 + (n-3) \cdot 2 + (n-2) \cdot 2 + (n-1) \cdot 2
]
[
= 21 + \left[(n-3) + (n-2) + (n-1)\right] \cdot 2
]
[
= 21 + \left[3n - 6\right] \cdot 2
]
[
= 21 + 6n - 12
]
[
= 6n + 9
]
По условию, сумма последних трех членов равна 45:
[
6n + 9 = 45
]
[
6n = 45 - 9
]
[
6n = 36 \quad \Rightarrow \quad n = 6
]
Ответ:
Количество членов в заданной арифметической прогрессии равно ( n = 6 ).
