y=x²×cosx

Давайте разберемся, как дифференцировать функцию \(y = x^2 \cdot \cos(x)\) с помощью правила произведения. Это поможет вам понять, как работать с подобными задачами.

Шаг 1: Определение функции

Мы имеем функцию: \[ y = x^2 \cdot \cos(x) \] где \(u = x^2\) и \(v = \cos(x)\).

Шаг 2: Применение правила произведения

Правило произведения гласит, что если \(y = u \cdot v\), то производная \(y'\) будет равна: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] где \(u'\) и \(v'\) — производные соответствующих функций \(u\) и \(v\).

Шаг 3: Находим производные \(u'\) и \(v'\)

1. Находим производную \(u = x^2\): \[ u' = 2x \]

2. Находим производную \(v = \cos(x)\): \[ v' = -\sin(x) \]

Шаг 4: Подставим производные в правило произведения

Теперь подставим найденные производные в формулу: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Подставляем \(u\), \(u'\), \(v\) и \(v'\): \[ y' = (2x) \cdot (\cos(x)) + (x^2) \cdot (-\sin(x)) \]

Шаг 5: Упрощаем выражение

Теперь упростим наше выражение: \[ y' = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \]

Ответ

Таким образом, производная функции \(y = x^2 \cdot \cos(x)\) равна: \[ y' = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \]

Если у вас есть вопросы по этому решению или вы хотите рассмотреть другую задачу, дайте знать!