3. Найдите сумму первых ста двенадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой a_{Pi} = 7pi + 3
Чтобы найти сумму первых ста двенадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой \( a_{n} = 7n + 3 \), мы сначала определим, что в данной формуле:
- \( a_{n} \) — это n-ый член арифметической прогрессии,
- \( n \) — номер члена прогрессии.
Шаг 1: Определение первого члена \( a_1 \) и разности \( d \)
Первый член прогрессии \( a_1 \) (когда \( n = 1 \)): \[ a_1 = 7 \cdot 1 + 3 = 7 + 3 = 10 \]
Второй член прогрессии \( a_2 \) (когда \( n = 2 \)): \[ a_2 = 7 \cdot 2 + 3 = 14 + 3 = 17 \]
Разность прогрессии \( d \) (разность между соседними членами): \[ d = a_2 - a_1 = 17 - 10 = 7 \]
Шаг 2: Определение 12-го члена \( a_{12} \)
Теперь найдем 12-й член: \[ a_{12} = 7 \cdot 12 + 3 = 84 + 3 = 87 \]
Шаг 3: Определение суммы первых 12 членов
Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов, \( a_1 \) — первый член, \( a_n \) — n-ый член.
Для первых 12 членов: \[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (a_1 + a_{12}) = 6 \cdot (10 + 87) = 6 \cdot 97 = 582 \]
Результат
Таким образом, сумма первых 12 членов данной арифметической прогрессии составляет \( 582 \).
