В геометрической прогрессии найти: S5, если b_{3} - b_{1} = 24 и b_{5} - b_{1} = 624

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Задание

Вам нужно найти сумму первых 5 членов (S5) геометрической прогрессии, если даны условия:

1. \( b_3 - b_1 = 24 \)
2. \( b_5 - b_1 = 624 \)

Обозначения

Обозначим первый член геометрической прогрессии как \( b_1 \), а знаменатель прогрессии (то есть, общее отношение) как \( q \). Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• \( b_1 = b_1 \)
• \( b_2 = b_1 \cdot q \)
• \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \)
• \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \)
• \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \)

Подстановка условий

Теперь подставим условия в наши выражения для членов прогрессии:

1. Из первого условия: \[ b_3 - b_1 = 24 \implies b_1 \cdot q^2 - b_1 = 24 \] Факторизуем: \[ b_1(q^2 - 1) = 24 \quad (1) \]

2. Из второго условия: \[ b_5 - b_1 = 624 \implies b_1 \cdot q^4 - b_1 = 624 \] Факторизуем: \[ b_1(q^4 - 1) = 624 \quad (2) \]

Деление уравнений

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. \( b_1(q^2 - 1) = 24 \)
2. \( b_1(q^4 - 1) = 624 \)

Резюмируя:

\[ \frac{b_1(q^4 - 1)}{b_1(q^2 - 1)} = \frac{624}{24} \]

Сократим \( b_1 \): \[ \frac{q^4 - 1}{q^2 - 1} = 26 \]

Заметим, что: \[ q^4 - 1 = (q^2 - 1)(q^2 + 1) \] Поэтому: \[ \frac{(q^2 - 1)(q^2 + 1)}{q^2 - 1} = 26 \Rightarrow q^2 + 1 = 26 \]

Решим это уравнение: \[ q^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad q = 5 \text{ или } q = -5 \] Мы воспользуемся положительным значением \( q = 5 \).

Найдем значение \( b_1 \)

Теперь подставим значение \( q \) обратно в одно из уравнений для нахождения \( b_1 \). Используем уравнение (1): \[ b_1(5^2 - 1) = 24 \quad \Rightarrow \quad b_1(25 - 1) = 24 \] \[ b_1 \cdot 24 = 24 \quad \Rightarrow \quad b_1 = 1 \]

Находим сумму первых 5 членов (S5)

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Подставим наши значения для \( n = 5 \): \[ S_5 = 1 \cdot \frac{5^5 - 1}{5 - 1} = \frac{3125 - 1}{4} = \frac{3124}{4} = 781 \]

Ответ

Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии \( S_5 = 781 \).