Бригада маляров красит забор длиной 280 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада…

Давайте разберем каждую задачу по очереди.

Задача 1:

Задание: Бригада маляров красит забор длиной 280 метров, увеличивая норму покраски. За первый и последний день в сумме покрашено 70 метров. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( n \) – количество дней работы.
   • \( a \) – норма покраски в первый день.
   • \( d \) – увеличение нормы покраски каждый день.

2. Определим норму покраски:

   • За первый день: \( a \)
   • За последний день (n-й день): \( a + (n-1)d \)

3. По условию задачи: \[ a + (a + (n - 1)d) = 70 \Rightarrow 2a + (n - 1)d = 70 \]

4. Также известно, что бригада покрасила в сумме 280 метров: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) = 280 \quad \text{(формула суммы арифметической прогрессии)} \] Подставим \( S_n \): \[ 2a + (n - 1)d = 70 \Rightarrow S_n = \frac{n}{2} \cdot 70 = 35n = 280 \] Отсюда: \( n = 8 \)

5. Ответ: Бригада маляров красила забор 8 дней.

Задача 2:

Задание: Рабочие прокладывают тоннель длиной 93 метра, ежедневно увеличивая норму. За первый день — 7 метров. Определите, сколько метров прокладывают в последний день, если работа выполнена за 6 дней.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( a = 7 \) (метров в первый день)
   • \( d \) – увеличение нормы.
   • \( n = 6 \) (количество дней).

2. Подсчитаем, сколько тоннеля проложено за 6 дней: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) = 93 \] Подставим \( n = 6 \): \[ S_6 = 3 (2 \cdot 7 + 5d) = 93 \Rightarrow 2 \cdot 7 + 5d = 31 \Rightarrow 14 + 5d = 31 \] \[ 5d = 31 - 14 \Rightarrow 5d = 17 \Rightarrow d = \frac{17}{5} = 3.4 \]

3. Норма в последний день (6-й): \[ a + (n-1)d = 7 + 5 \cdot 3.4 = 7 + 17 = 24 \]

4. Ответ: В последний день рабочие проложили 24 метра туннеля.

Задача 3:

Задание: Хозяин заплатит за колодец, где за первый метр 3500 рублей, а за каждый следующий на 1600 рублей больше. Посчитайте общую сумму за 9 метров.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( a = 3500 \) (стоимость первого метра)
   • \( d = 1600 \) (увеличение стоимости).

2. Считаем общую стоимость: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \quad \text{для } n = 9 \] Подставим значения: \[ S_9 = \frac{9}{2} (2 \cdot 3500 + 8 \cdot 1600) = \frac{9}{2} (7000 + 12800) = \frac{9}{2} \cdot 19800 \] Рассчитаем: \[ S_9 = 9 \cdot 9900 = 89100 \]

3. Ответ: Хозяин должен заплатить 89100 рублей за колодец.

Задача 4:

Задание: Грузовик перевозит щебень массой 511 тонн, увеличивая норму на одно и то же число тонн. За первый день — 4 тонны. Определите, сколько тонн щебня за девятый день, если работа выполнена за 14 дней.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( a = 4 \) (тонн в первый день)
   • \( d \) – увеличение нормы.
   • \( n = 14 \).

2. Общее количество щебня: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) = 511 \] Подставим: \[ \frac{14}{2} (2 \cdot 4 + 13d) = 511 \Rightarrow 7(8 + 13d) = 511 \] \[ 8 + 13d = \frac{511}{7} \Rightarrow 8 + 13d = 73 \] \[ 13d = 73 - 8 \Rightarrow 13d = 65 \Rightarrow d = 5 \]

3. Норма за девятый день: \[ a + (9-1)d = 4 + 8 \cdot 5 = 4 + 40 = 44 \]

4. Ответ: В девятый день было перевезено 44 тонны щебня.

Если есть ещё вопросы или нужна помощь с другими задачами, просто дайте знать!