№2. Разложите на множители: a) x ^ 2 - 1 б) x ^ 2 + 4x + 4 в) 25y ^ 2 - 4 г) 36a ^ 2 - 60aB + 2
Давайте разложим указанные выражения на множители шаг за шагом.
a) \( x^2 - 1 \)
Это выражение является разностью квадратов, поскольку его можно представить в виде:
\[ x^2 - 1^2 \]
Формула разности квадратов выглядит так:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
В нашем случае \( a = x \) и \( b = 1 \):
\[ x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1) \]
Таким образом, разложение на множители:
\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
б) \( x^2 + 4x + 4 \)
Это выражение является квадратом двухчлена. Мы можем использовать формулу квадрат суммы:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Сравнивая, видим, что \( a = x \) и \( b = 2 \). Тогда:
\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]
Таким образом, разложение на множители:
\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]
в) \( 25y^2 - 4 \)
Это также выражение является разностью квадратов, поскольку:
\[ 25y^2 - 4 = (5y)^2 - 2^2 \]
Таким образом, используя формулу разности квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
где \( a = 5y \) и \( b = 2 \):
\[ 25y^2 - 4 = (5y - 2)(5y + 2) \]
Таким образом, разложение на множители:
\[ 25y^2 - 4 = (5y - 2)(5y + 2) \]
г) \( 36a^2 - 60ab + 2 \)
Сначала попробуем вынести общий множитель. Мы заметим, что все коэффициенты являются четными. Вынесем 2:
\[ 2(18a^2 - 30ab + 1) \]
Теперь нам нужно разложить \( 18a^2 - 30ab + 1 \). Это трёхчлен, который мы можем попытаться раскладывать. Может быть полезно использовать метод подбора корней или формулу для решения квадратных уравнений, но в данном случае попробуем подбирать многочлен.
Подберем множители \( (ma + n)(pa + q) \). У нас есть:
- \( mp = 18 \)
- \( mq + np = -30 \)
- \( nq = 1 \)
Однако, без конкретного подбора нам может не удастся разложить его в виде множителей с целыми коэффициентами.
Так как почти всегда есть возможность использовать формулу для квадратных уравнений, давайте попробуем её:
Используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 900 - 72 = 828 \]
Теперь подставим в формулу для нахождения корней:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{828}}{2 \cdot 18} \]
Однако исходная форма не позволяет нам раскладывать с целыми коэффициентами.
Мы видим, что \( 36a^2 - 60ab + 2 \) нельзя факторизовать на целые множители, таким образом, мы можем оставить это выражение в его текущем виде.
Таким образом, итоговые разложения:
- \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
- \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)
- \( 25y^2 - 4 = (5y - 2)(5y + 2) \)
- \( 36a^2 - 60ab + 2 = 2 (18a^2 - 30ab + 1) \) (не раскладывается на множители).
