№2. Разложите на множители: a) x ^ 2 - 1 б) x ^ 2 + 4x + 4 в) 25y ^ 2 - 4 г) 36a ^ 2 - 60aB + 2

Давайте разложим указанные выражения на множители шаг за шагом. ### a) \( x^2 - 1 \) Это выражение является разностью квадратов, поскольку его можно представить в виде: \[ x^2 - 1^2 \] Формула разности квадратов выглядит так: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] В нашем случае \( a = x \) и \( b = 1 \): \[ x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1) \] Таким образом, разложение на множители: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] --- ### б) \( x^2 + 4x + 4 \) Это выражение является квадратом двухчлена. Мы можем использовать формулу квадрат суммы: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Сравнивая, видим, что \( a = x \) и \( b = 2 \). Тогда: \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \] Таким образом, разложение на множители: \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \] --- ### в) \( 25y^2 - 4 \) Это также выражение является разностью квадратов, поскольку: \[ 25y^2 - 4 = (5y)^2 - 2^2 \] Таким образом, используя формулу разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] где \( a = 5y \) и \( b = 2 \): \[ 25y^2 - 4 = (5y - 2)(5y + 2) \] Таким образом, разложение на множители: \[ 25y^2 - 4 = (5y - 2)(5y + 2) \] --- ### г) \( 36a^2 - 60ab + 2 \) Сначала попробуем вынести общий множитель. Мы заметим, что все коэффициенты являются четными. Вынесем 2: \[ 2(18a^2 - 30ab + 1) \] Теперь нам нужно разложить \( 18a^2 - 30ab + 1 \). Это трёхчлен, который мы можем попытаться раскладывать. Может быть полезно использовать метод подбора корней или формулу для решения квадратных уравнений, но в данном случае попробуем подбирать многочлен. Подберем множители \( (ma + n)(pa + q) \). У нас есть: - \( mp = 18 \) - \( mq + np = -30 \) - \( nq = 1 \) Однако, без конкретного подбора нам может не удастся разложить его в виде множителей с целыми коэффициентами. Так как почти всегда есть возможность использовать формулу для квадратных уравнений, давайте попробуем её: Используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 900 - 72 = 828 \] Теперь подставим в формулу для нахождения корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{828}}{2 \cdot 18} \] Однако исходная форма не позволяет нам раскладывать с целыми коэффициентами. Мы видим, что \( 36a^2 - 60ab + 2 \) нельзя факторизовать на целые множители, таким образом, мы можем оставить это выражение в его текущем виде. Таким образом, итоговые разложения: 1. \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) 2. \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \) 3. \( 25y^2 - 4 = (5y - 2)(5y + 2) \) 4. \( 36a^2 - 60ab + 2 = 2 (18a^2 - 30ab + 1) \) (не раскладывается на множители).