Найти частные производные от функции: z = e xy e xy y(1+x) x e xy e xy y(1+x) y e xy

Для того чтобы найти частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \), сначала опишем функцию: \[ z = e^{xy} \cdot y(1+x) + x \cdot e^{xy} + e^{xy} \cdot y(1+x) + y \cdot e^{xy} \] Упростим выражение \( z \): 1. Приведем подобные члены. У нас есть: - \( e^{xy} \cdot y(1+x) \) — этот элемент повторяется в сложении. - Разделим \( z \) на две части: \[ z = (e^{xy} \cdot y(1+x) + e^{xy} \cdot y(1+x)) + (x \cdot e^{xy} + y \cdot e^{xy}) \] \[ z = 2 \cdot e^{xy} \cdot y(1+x) + e^{xy} \cdot (x+y) \] \[ z = e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) \] Теперь мы готовы находить производные. ### Частная производная по \( x \) При нахождении частной производной по \( x \), нам нужно применить правило произведения и цепное правило. Начнем с: \[ z = e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) \] Обозначим: \[ u = e^{xy}, \quad v = 2y(1+x) + x + y \] Теперь поговорим о частной производной \( \frac{\partial z}{\partial x} \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} v + u \frac{\partial v}{\partial x} \] 1. Находим \( \frac{\partial u}{\partial x} = y e^{xy} \) (по правилу дифференцирования «экспоненты»). 2. Далее находим \( \frac{\partial v}{\partial x} \): - \( v = 2y(1+x) + x + y \) - Значит, \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + 1 \). Теперь соберем всё вместе: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2y + 1) \] Это и будет частная производная функции \( z \) по \( x \). ### Частная производная по \( y \) Теперь мы вычислим частную производную \( \frac{\partial z}{\partial y} \). Используем те же обозначения: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} v + u \frac{\partial v}{\partial y} \] 1. Находим \( \frac{\partial u}{\partial y} = x e^{xy} \). 2. Теперь находим \( \frac{\partial v}{\partial y} \): - \( v = 2y(1+x) + x + y \) - Так что \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2(1+x) + 1 = 2 + 2x \). Соберем всё в одну формулу: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2 + 2x) \] ### Резюме: Таким образом, мы находим частные производные функции \( z \): - \( \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2y + 1) \) - \( \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2 + 2x) \) Если возникнут вопросы или понадобится дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!