Найти частные производные от функции: z = e xy e xy y(1+x) x e xy e xy y(1+x) y e xy

Для того чтобы найти частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \), сначала опишем функцию:

\[ z = e^{xy} \cdot y(1+x) + x \cdot e^{xy} + e^{xy} \cdot y(1+x) + y \cdot e^{xy} \]

Упростим выражение \( z \):

1. Приведем подобные члены. У нас есть:
   • \( e^{xy} \cdot y(1+x) \) — этот элемент повторяется в сложении.
   • Разделим \( z \) на две части: \[ z = (e^{xy} \cdot y(1+x) + e^{xy} \cdot y(1+x)) + (x \cdot e^{xy} + y \cdot e^{xy}) \] \[ z = 2 \cdot e^{xy} \cdot y(1+x) + e^{xy} \cdot (x+y) \] \[ z = e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) \]

Теперь мы готовы находить производные.

Частная производная по \( x \)

При нахождении частной производной по \( x \), нам нужно применить правило произведения и цепное правило. Начнем с:

\[ z = e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) \]

Обозначим:

\[ u = e^{xy}, \quad v = 2y(1+x) + x + y \]

Теперь поговорим о частной производной \( \frac{\partial z}{\partial x} \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} v + u \frac{\partial v}{\partial x} \]

1. Находим \( \frac{\partial u}{\partial x} = y e^{xy} \) (по правилу дифференцирования «экспоненты»).
2. Далее находим \( \frac{\partial v}{\partial x} \):
   • \( v = 2y(1+x) + x + y \)
   • Значит, \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + 1 \).

Теперь соберем всё вместе:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2y + 1) \]

Это и будет частная производная функции \( z \) по \( x \).

Частная производная по \( y \)

Теперь мы вычислим частную производную \( \frac{\partial z}{\partial y} \). Используем те же обозначения:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} v + u \frac{\partial v}{\partial y} \]

1. Находим \( \frac{\partial u}{\partial y} = x e^{xy} \).
2. Теперь находим \( \frac{\partial v}{\partial y} \):
   • \( v = 2y(1+x) + x + y \)
   • Так что \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2(1+x) + 1 = 2 + 2x \).

Соберем всё в одну формулу:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2 + 2x) \]

Резюме:

Таким образом, мы находим частные производные функции \( z \):

• \( \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2y + 1) \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \cdot (2y(1+x) + x + y) + e^{xy} \cdot (2 + 2x) \)

Если возникнут вопросы или понадобится дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!