Прямоугольный параллелепипед АВСD...D1. Сторона AD=3, DD1=5, DC=4. Найдите угол D1ACD
Чтобы найти угол \( D_1ACD \) в прямоугольном параллелепипеде, начнем с понимания его конструкции и того, как именно мы будем вычислять угол между векторами.
1. **Определим координаты вершин параллелепипеда:**
Параллелепипед имеет 8 вершин. Давайте поместим его в координатную систему:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(3, 0, 0) \) (сиречь \( AD = 3 \))
- \( C(3, 4, 0) \) (потому что \( DC = 4 \))
- \( D(0, 4, 0) \) (находится на той же плоскости, что и \( A, B, C \))
- \( D_1(0, 4, 5) \) (высота \( DD_1 = 5 \))
- \( B_1(3, 0, 5) \)
- \( C_1(3, 4, 5) \)
- \( A_1(0, 0, 5) \)
2. **Найдем векторы, образующие угол \( D_1ACD \):**
Для определения угла между векторами \( D_1A \) и \( DC \) найдем сначала соответствующие векторы.
- Вектор \( D_1A \):
\[
D_1A = A - D_1 = (0, 0, 0) - (0, 4, 5) = (0, -4, -5)
\]
- Вектор \( DC \):
\[
DC = C - D = (3, 4, 0) - (0, 4, 0) = (3, 0, 0)
\]
3. **Используем формулу для нахождения угла между векторами:**
Формула для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \):
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
\]
Здесь \( \vec{u} = D_1A \) и \( \vec{v} = DC \).
4. **Найдем скалярное произведение:**
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = (0) \cdot (3) + (-4) \cdot (0) + (-5) \cdot (0) = 0
\]
5. **Найдём длины векторов:**
- Длина \( D_1A \):
\[
|D_1A| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 16 + 25} = \sqrt{41}
\]
- Длина \( DC \):
\[
|DC| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
6. **Подставим в формулу:**
\[
\cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{41} \cdot 3} = 0
\]
Это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).
**Ответ:** Угол \( D_1ACD \) равен \( 90^\circ \).
