Прямоугольный параллелепипед АВСD...D1. Сторона AD=3, DD1=5, DC=4. Найдите угол D1ACD

Чтобы найти угол \( D_1ACD \) в прямоугольном параллелепипеде, начнем с понимания его конструкции и того, как именно мы будем вычислять угол между векторами.

1. Определим координаты вершин параллелепипеда:

   Параллелепипед имеет 8 вершин. Давайте поместим его в координатную систему:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(3, 0, 0) \) (сиречь \( AD = 3 \))
   • \( C(3, 4, 0) \) (потому что \( DC = 4 \))
   • \( D(0, 4, 0) \) (находится на той же плоскости, что и \( A, B, C \))
   • \( D_1(0, 4, 5) \) (высота \( DD_1 = 5 \))
   • \( B_1(3, 0, 5) \)
   • \( C_1(3, 4, 5) \)
   • \( A_1(0, 0, 5) \)

2. Найдем векторы, образующие угол \( D_1ACD \):

   Для определения угла между векторами \( D_1A \) и \( DC \) найдем сначала соответствующие векторы.

   • Вектор \( D_1A \): \[ D_1A = A - D_1 = (0, 0, 0) - (0, 4, 5) = (0, -4, -5) \]

   • Вектор \( DC \): \[ DC = C - D = (3, 4, 0) - (0, 4, 0) = (3, 0, 0) \]

3. Используем формулу для нахождения угла между векторами:

   Формула для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \): \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]

   Здесь \( \vec{u} = D_1A \) и \( \vec{v} = DC \).

4. Найдем скалярное произведение: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (0) \cdot (3) + (-4) \cdot (0) + (-5) \cdot (0) = 0 \]

5. Найдём длины векторов:

   • Длина \( D_1A \): \[ |D_1A| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 16 + 25} = \sqrt{41} \]

   • Длина \( DC \): \[ |DC| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \]

6. Подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{41} \cdot 3} = 0 \] Это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).

Ответ: Угол \( D_1ACD \) равен \( 90^\circ \).