У Кати в кармане две монеты по 10 рублей, две монеты по 5 рублей и две монеты по 2 рублей. Она хочет купить в киоске мороженое ценой 20 рублей. Катя не глядя достаёт из кармана три случайные монеты. Найдите вероятность того, что суммы, которую достала Катя, хватит на мороженое.

Чтобы решить задачу о вероятности того, что сумма, которую достала Катя, хватит на мороженое, давайте пошагово разберёмся с данной ситуацией. ### Шаг 1: Определим исходные данные У Кати в кармане: - 2 монеты по 10 рублей - 2 монеты по 5 рублей - 2 монеты по 2 рубля В сумме у Кати 6 монет. ### Шаг 2: Найдем общее количество способов выбрать 3 монеты Чтобы найти общее количество способов выбрать 3 монеты из 6, используем формулу комбинаторики: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( n \) — общее количество монет (6), - \( k \) — количество выбираемых монет (3). Подставляем значения: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Таким образом, существует 20 различных способов выбрать 3 монеты. ### Шаг 3: Найдем благоприятные исходы Теперь нам нужно выяснить, при каких комбинациях выбранных монет сумма будет равна или больше 20 рублей. #### Возможные комбинации: 1. **3 монеты по 10 руб**: сумма = 30 руб (не возможно, т.к. таких монет только 2). 2. **2 монеты по 10 руб + 1 монета по 5 руб**: сумма = 25 руб (благоприятно). 3. **2 монеты по 10 руб + 1 монета по 2 руб**: сумма = 24 руб (благоприятно). 4. **1 монета по 10 руб + 2 монеты по 5 руб**: сумма = 20 руб (благоприятно). 5. **1 монета по 10 руб + 1 монета по 5 руб + 1 монета по 2 руб**: сумма = 17 руб (не благоприятно). 6. **1 монета по 10 руб + 2 монеты по 2 руб**: сумма = 14 руб (не благоприятно). 7. **3 монеты по 5 руб**: сумма = 15 руб (не благоприятно). 8. **2 монеты по 5 руб + 1 монета по 2 руб**: сумма = 12 руб (не благоприятно). 9. **1 монета по 5 руб + 2 монеты по 2 руб**: сумма = 9 руб (не благоприятно). 10. **3 монеты по 2 руб**: сумма = 6 руб (не благоприятно). #### Подводим итог: Благоприятные исходы: - 2 монеты по 10 рублей и 1 монета по 5 рублей: \(C(2, 2) \cdot C(2, 1) = 1 \cdot 2 = 2\) - 2 монеты по 10 рублей и 1 монета по 2 рубля: \(C(2, 2) \cdot C(2, 1) = 1 \cdot 2 = 2\) - 1 монета по 10 рублей и 2 монеты по 5 рублей: \(C(2, 1) \cdot C(2, 2) = 2 \cdot 1 = 2\) Итак, у нас есть 6 благоприятных исходов. ### Шаг 4: Находим вероятность Теперь можем найти вероятность того, что сумма выбранных монет будет равна или больше 20 рублей. \[ P = \frac{N_{\text{благоприятные}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3 \] ### Ответ Вероятность того, что суммы, которую достала Катя, хватит на мороженое, составляет 0.3 или 30%.