💖
Для решения задачи \( \frac{x-1}{x-3} - \frac{x+5}{x+3} = \frac{-12}{x^2-9} \) выполним следующие шаги:
Приведение к общему знаменателю:
Знаменатель \( x^2 - 9 \) можно разложить как разность квадратов:
\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \]
Таким образом, общий знаменатель для левой части можно выбрать такой же: \((x-3)(x+3)\).
Объединение дробей в левой части:
Первая дробь: \(\frac{x-1}{x-3}\) нужно домножить на \((x+3)\):
\[ \frac{(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} \]
Вторая дробь: \(\frac{x+5}{x+3}\) нужно домножить на \((x-3)\):
\[ \frac{(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \]
Теперь у нас общий знаменатель \((x-3)(x+3)\) для обеих дробей, и мы можем объединить дроби:
\[ \frac{(x-1)(x+3) - (x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \]
Упрощение числителя:
Раскроем скобки в числителе:
\[ (x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3 \] \[ (x+5)(x-3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15 \]
Теперь подставим в общую дробь:
\[ \frac{x^2 + 2x - 3 - (x^2 + 2x - 15)}{(x-3)(x+3)} \]
Упростим числитель:
\[ x^2 + 2x - 3 - x^2 - 2x + 15 = 12 \]
Итак, получаем:
\[ \frac{12}{(x-3)(x+3)} \]
Сравнение сторон уравнения:
Теперь у нас:
\[ \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{-12}{(x-3)(x+3)} \]
Чтобы уравнение выполнялось, должно быть:
\[ 12 = -12 \]
Это невозможно при реальных значениях \(x\).
Вывод: уравнение не имеет решений, так как приводит к противоречию.
