Периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 22 её больше Боковая сторона равна семи найдите радиус окружности

Для решения задачи начнем с того, что мы имеем прямоугольную трапецию \( ABCD \), в которой \( AB \) и \( CD \) — основания, а \( AD \) и \( BC \) — боковые стороны. Так как трапеция описана около окружности, это значит, что сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон: \[ AB + CD = AD + BC \] В условиях задачи нам дано, что периметр трапеции равен 22, а одна из боковых сторон (например, \( AD \)) равна 7. Обозначим: - \( AD = 7 \) - \( BC = x \) (где \( x \) — длина второй боковой стороны) - \( AB = a \) - \( CD = b \) Тогда периметр трапеции можно записать так: \[ AB + CD + AD + BC = a + b + 7 + x = 22 \] Согласно свойству трапеции, мы также знаем: \[ a + b = AD + BC = 7 + x \] Теперь подставим значение \( a + b \) в уравнение для периметра: \[ 7 + x + 7 + x = 22 \] Соберем подобные слагаемые: \[ 14 + 2x = 22 \] Теперь решим это уравнение относительно \( x \): \[ 2x = 22 - 14 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = 4 \] Таким образом, мы нашли длину второй боковой стороны \( BC = 4 \). Теперь можно подставить значения \( AD \) и \( BC \) обратно в уравнение для оснований: \[ AB + CD = 7 + 4 = 11 \] Назовем \( AB = a \) и \( CD = b \), тогда у нас есть уравнение: \[ a + b = 11 \] Теперь использовать формулу для нахождения радиуса окружности, описанной около трапеции. Радиус \( R \) описанной окружности можно вычислить по формуле для трапеции: \[ R = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь трапеции, а \( p \) — полупериметр. Площадь \( S \) прямоугольной трапеции рассчитывается следующим образом: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \] где \( h \) — высота трапеции. Для прямоугольной трапеции основание и высота равны соответственно. Из формулы проще выразить радиус через основания и две боковые стороны. Мы наблюдаем, что высота \( h \) будет равна длине боковых сторон, поскольку они перпендикулярны основаниям. Так как высота \( h \) равна 4 (по длине одной из боковых сторон), подставим значения в формулы: Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{22}{2} = 11 \] Площадь \( S \): \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{11 \cdot 4}{2} = 22 \] Теперь подставим это в формулу для радиуса: \[ R = \frac{S}{p} = \frac{22}{11} = 2 \] Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен **2**.