Периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 22 её больше Боковая сторона равна семи найдите радиус окружности

Для решения задачи начнем с того, что мы имеем прямоугольную трапецию \( ABCD \), в которой \( AB \) и \( CD \) — основания, а \( AD \) и \( BC \) — боковые стороны. Так как трапеция описана около окружности, это значит, что сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон:

\[ AB + CD = AD + BC \]

В условиях задачи нам дано, что периметр трапеции равен 22, а одна из боковых сторон (например, \( AD \)) равна 7.

Обозначим:

• \( AD = 7 \)
• \( BC = x \) (где \( x \) — длина второй боковой стороны)
• \( AB = a \)
• \( CD = b \)

Тогда периметр трапеции можно записать так:

\[ AB + CD + AD + BC = a + b + 7 + x = 22 \]

Согласно свойству трапеции, мы также знаем:

\[ a + b = AD + BC = 7 + x \]

Теперь подставим значение \( a + b \) в уравнение для периметра:

\[ 7 + x + 7 + x = 22 \]

Соберем подобные слагаемые:

\[ 14 + 2x = 22 \]

Теперь решим это уравнение относительно \( x \):

\[ 2x = 22 - 14 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = 4 \]

Таким образом, мы нашли длину второй боковой стороны \( BC = 4 \).

Теперь можно подставить значения \( AD \) и \( BC \) обратно в уравнение для оснований:

\[ AB + CD = 7 + 4 = 11 \]

Назовем \( AB = a \) и \( CD = b \), тогда у нас есть уравнение:

\[ a + b = 11 \]

Теперь использовать формулу для нахождения радиуса окружности, описанной около трапеции. Радиус \( R \) описанной окружности можно вычислить по формуле для трапеции:

\[ R = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь трапеции, а \( p \) — полупериметр.

Площадь \( S \) прямоугольной трапеции рассчитывается следующим образом:

\[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \]

где \( h \) — высота трапеции. Для прямоугольной трапеции основание и высота равны соответственно.

Из формулы проще выразить радиус через основания и две боковые стороны. Мы наблюдаем, что высота \( h \) будет равна длине боковых сторон, поскольку они перпендикулярны основаниям.

Так как высота \( h \) равна 4 (по длине одной из боковых сторон), подставим значения в формулы:

Полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{22}{2} = 11 \]

Площадь \( S \):

\[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{11 \cdot 4}{2} = 22 \]

Теперь подставим это в формулу для радиуса:

\[ R = \frac{S}{p} = \frac{22}{11} = 2 \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 2.