А: решите уравнение: cos2x=sin2x Б: найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;3]
Для решения уравнения \(\cos(2x) = \sin(2x)\), начнем с преобразования.
Преобразование уравнения: Мы знаем, что \(\cos(2x) = \sin(2x)\) можно привести к следующему виду, используя тригонометрическую тождество: \[ \tan(2x) = 1. \]
Поиск общего решения: Уравнение \(\tan(2x) = 1\) имеет решение: \[ 2x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \] где \(k\) — любое целое число.
Чтобы выразить \(x\), делим обе стороны на 2: \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}. \]
Поиск корней на заданном интервале [0; 3]: Теперь найдем целые значения \(k\), чтобы \(x\) находилось в интервале \([0; 3]\): \[ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \in [0; 3]. \]
Выразим это неравенство: \[ 0 \leq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \leq 3. \]
Для нижней границы: \[ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \geq 0 \implies k \geq -\frac{1}{4} \text{ (или просто } k \geq 0\text{)}. \]
Для верхней границы: \[ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \leq 3 \implies \frac{k\pi}{2} \leq 3 - \frac{\pi}{8}. \] Перемножим на \(2\): \[ k\pi \leq 6 - \frac{\pi}{4} \implies k \leq \frac{6 - \frac{\pi}{4}}{\pi} \approx \frac{6 - 0.785}{3.14} \approx 1.46. \]
Таким образом, \(k\) может принимать значения \(0\) и \(1\).
Подставим значения \(k\):
Для \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{8} \approx 0.3927. \]
Для \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} \approx 1.9635. \]
Проверим для \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{\pi}{8} + \frac{8\pi}{8} = \frac{9\pi}{8} \approx 3.5349, \] что выходит за пределы интервала \([0; 3]\).
Ответ: Таким образом, корни уравнения \(\cos(2x) = \sin(2x)\) на отрезке \([0; 3]\): \[ x_1 = \frac{\pi}{8} \approx 0.39, \quad x_2 = \frac{5\pi}{8} \approx 1.96. \]
