в треугольнике авс равен с 90° ав=3√5 sinA=2/√5 найдите площадь

Для нахождения площади треугольника ABC, где угол C равен 90°, нам нужно использовать информацию о его сторонах и углах.

1. Известные данные:

   • Угол C = 90°.
   • Длина стороны AB (катет) = AC = 3√5.
   • Значение синуса угла A: sin A = 2/√5.

2. Находим угол A:

   • Используем формулу для нахождения угла по значению его синуса: \[ \sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}. \] В нашем случае, обозначим:
   • AB — гипотенуза,
   • AC — катет, противолежащий углу A.

3. Находим гипотенузу AB:

   • Если обозначим катет AC = 3√5, то можем найти гипотенузу (AB) с использованием отношения между сторонами: \[ \sin A = \frac{AC}{AB}, \text{ то есть } \frac{3\sqrt{5}}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \] Теперь нужно решить это уравнение: \[ 3\sqrt{5} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot AB \implies AB = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}. \]

4. Находим площадь треугольника:

   • Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC. \] Нам необходим знать сторону BC, которая является катетом, прилежащим к углу A. Используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies \left(\frac{15}{2}\right)^2 = (3\sqrt{5})^2 + BC^2. \] Вычисляем: \[ \frac{225}{4} = 45 + BC^2 \implies BC^2 = \frac{225}{4} - 45 = \frac{225 - 180}{4} = \frac{45}{4}. \] Таким образом, \[ BC = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}. \]

5. Теперь можем подставить значения в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 5}{2} = \frac{45}{4}. \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \( \frac{45}{4} \) квадратных единиц.