В треугольнике авс равен с 90° ав=3√5 sinA=2/√5 найдите площадь

Для нахождения площади треугольника ABC, где угол C равен 90°, нам нужно использовать информацию о его сторонах и углах. 1. **Известные данные:** - Угол C = 90°. - Длина стороны AB (катет) = AC = 3√5. - Значение синуса угла A: sin A = 2/√5. 2. **Находим угол A:** - Используем формулу для нахождения угла по значению его синуса: \[ \sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}. \] В нашем случае, обозначим: - AB — гипотенуза, - AC — катет, противолежащий углу A. 3. **Находим гипотенузу AB:** - Если обозначим катет AC = 3√5, то можем найти гипотенузу (AB) с использованием отношения между сторонами: \[ \sin A = \frac{AC}{AB}, \text{ то есть } \frac{3\sqrt{5}}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \] Теперь нужно решить это уравнение: \[ 3\sqrt{5} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot AB \implies AB = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}. \] 4. **Находим площадь треугольника:** - Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC. \] Нам необходим знать сторону BC, которая является катетом, прилежащим к углу A. Используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies \left(\frac{15}{2}\right)^2 = (3\sqrt{5})^2 + BC^2. \] Вычисляем: \[ \frac{225}{4} = 45 + BC^2 \implies BC^2 = \frac{225}{4} - 45 = \frac{225 - 180}{4} = \frac{45}{4}. \] Таким образом, \[ BC = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}. \] 5. **Теперь можем подставить значения в формулу для площади:** \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 5}{2} = \frac{45}{4}. \] **Ответ:** Площадь треугольника ABC равна \( \frac{45}{4} \) квадратных единиц.