Найти первообразную f(x) =8sin x/2 cos x/2

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 8 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) \), мы можем использовать одно из основных тригонометрических тождеств. В данном случае мы воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:

\[ \sin(a) \cos(a) = \frac{1}{2} \sin(2a) \]

В нашем случае, \( a = \frac{x}{2} \). Таким образом, можем переписать выражение:

\[ \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin(x) \]

Теперь подставим это в нашу функцию:

\[ f(x) = 8 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 8 \cdot \frac{1}{2} \sin(x) = 4 \sin(x) \]

Теперь нам нужно найти первообразную функции \( 4 \sin(x) \). Известно, что первообразной функции \( \sin(x) \) является \( -\cos(x) \). Следовательно, первообразная функции \( 4 \sin(x) \) будет:

\[ F(x) = -4 \cos(x) + C \]

где \( C \) — произвольная константа.

Таким образом, ответ:

\[ F(x) = -4 \cos(x) + C \]