Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 8 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) ), мы можем использовать одно из основных тригонометрических тождеств. В данном случае мы воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
[
\sin(a) \cos(a) = \frac{1}{2} \sin(2a)
]
В нашем случае, ( a = \frac{x}{2} ). Таким образом, можем переписать выражение:
[
\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin(x)
]
Теперь подставим это в нашу функцию:
[
f(x) = 8 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 8 \cdot \frac{1}{2} \sin(x) = 4 \sin(x)
]
Теперь нам нужно найти первообразную функции ( 4 \sin(x) ). Известно, что первообразной функции ( \sin(x) ) является ( -\cos(x) ). Следовательно, первообразная функции ( 4 \sin(x) ) будет:
[
F(x) = -4 \cos(x) + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
Таким образом, ответ:
[
F(x) = -4 \cos(x) + C
]
