Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2} ), мы воспользуемся методом подстановки.
Шаг 1: Упростим задачу
Для нахождения первообразной, мы можем сделать замену переменной. Пусть:
[
u = 6x + 1
]
Тогда, дифференцируя обе стороны, получаем:
[
\frac{du}{dx} = 6 \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{6}
]
Шаг 2: Подставим переменные
Теперь подставим ( u ) и ( dx ) в интеграл:
[
f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2} = -\frac{1}{u^2}
]
Следовательно,
[
\int f(x) , dx = \int -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{6} = -\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^2} , du
]
Шаг 3: Вычислим интеграл
Интеграл ( \int \frac{1}{u^2} , du ) можно вычислить. Он равен:
[
\int \frac{1}{u^2} , du = -\frac{1}{u} + C
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом,
[
-\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^2} , du = -\frac{1}{6} \left( -\frac{1}{u} \right) + C = \frac{1}{6u} + C
]
Шаг 4: Вернемся к переменной ( x )
Теперь возвращаемся к исходной переменной ( x ):
[
\frac{1}{6u} = \frac{1}{6(6x + 1)}
]
Таким образом, первообразная нашей функции ( f(x) ) будет:
[
F(x) = \frac{1}{6(6x + 1)} + C
]
Ответ
Таким образом, первообразная функции ( f(x) ) равна:
[
F(x) = \frac{1}{6(6x + 1)} + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
