Найти первообразную f(x) =-1/(6x+1)^2

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2} \), мы воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Упростим задачу

Для нахождения первообразной, мы можем сделать замену переменной. Пусть: \[ u = 6x + 1 \] Тогда, дифференцируя обе стороны, получаем: \[ \frac{du}{dx} = 6 \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{6} \]

Шаг 2: Подставим переменные

Теперь подставим \( u \) и \( dx \) в интеграл: \[ f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2} = -\frac{1}{u^2} \] Следовательно, \[ \int f(x) \, dx = \int -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{6} = -\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^2} \, du \]

Шаг 3: Вычислим интеграл

Интеграл \( \int \frac{1}{u^2} \, du \) можно вычислить. Он равен: \[ \int \frac{1}{u^2} \, du = -\frac{1}{u} + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, \[ -\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^2} \, du = -\frac{1}{6} \left( -\frac{1}{u} \right) + C = \frac{1}{6u} + C \]

Шаг 4: Вернемся к переменной \( x \)

Теперь возвращаемся к исходной переменной \( x \): \[ \frac{1}{6u} = \frac{1}{6(6x + 1)} \] Таким образом, первообразная нашей функции \( f(x) \) будет: \[ F(x) = \frac{1}{6(6x + 1)} + C \]

Ответ

Таким образом, первообразная функции \( f(x) \) равна: \[ F(x) = \frac{1}{6(6x + 1)} + C \]

где \( C \) — произвольная константа.