Давай разберём задачу пошагово.
Задача: У нас есть числа от (1^2) до (101^2) (то есть квадраты всех чисел от 1 до 101). Аня поочерёдно стирает любые два числа и записывает их положительную разность, пока не останется одно число. Мы должны определить наименьшее значение, которое она может получить в конце.
Шаг 1: Понимание отдельных элементов
Сначала определим, какие числа мы имеем:
[
1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 101^2
]
Это значит, что на доске будут числа:
[
1, 4, 9, 16, \ldots, 10201
]
Шаг 2: Формат операции
Когда Аня стирает два числа, например (a) и (b), она записывает положительную разность (|a - b|).
Шаг 3: Общая инвариантная величина
Сначала заметим, что при каждом шаге, замена двух чисел положительной разностью, ведёт к тому, что сумма всех чисел на доске меняется.
Также стоит отметить, что операции Ани не изменяют остаток от деления суммы всех чисел на 2. То есть, если сумма чисел на доске четная, она останется четной, если нечетная — нечетной.
Шаг 4: Вычисление суммы
Вычислим сумму квадратов от 1 до 101:
[
S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 101^2
]
Сумма квадратов первых (n) натуральных чисел даётся формулой:
[
S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
]
Подставляем (n = 101):
[
S = \frac{101 \cdot 102 \cdot 203}{6} = 348551
]
Шаг 5: Определение четности суммы
348551 — нечетное число (остаток 1 при делении на 2).
Шаг 6: Вывод о конечном числе
Поскольку каждая операция Ани не меняет четности суммы, итоговое число также должно быть нечетным. Поскольку Аня стирает два одинаковых числа (где разность будет 0, отрицательная разность не рассматривается), она будет приходить к меньшим нечетным числам, пока не останется одно число.
Шаг 7: Наименьшее нечетное число
Наименьшее нечетное число — это 1.
Ответ
Таким образом, наименьшее значение, которое Аня сможет получить в конце — 1.
