Для решения задачи о маятниках, давайте вспомним, как работает формула для периодов колебания простого маятника. Период колебания маятника можно вычислить по формуле:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ]
где:
- ( T ) — период колебания (время одного полного колебания),
- ( L ) — длина маятника,
- ( g ) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²).
Шаг 1: Найдем период колебаний каждого маятника
- Для второго маятника:
- Длина ( L_2 = 1 , \text{м} ).
- Мы можем найти период ( T_2 ):
[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}} \approx 0.63 , \text{с}
]
- Поскольку второй маятник совершил 7 колебаний, общее время его колебаний за это время:
[
t_2 = 7 \cdot T_2 \approx 7 \cdot 0.63 \approx 4.41 , \text{с}
]
Шаг 2: Найдем период колебаний первого маятника
Для первого маятника время колебаний также равно ( t_1 ):
[
t_1 = 10 \cdot T_1
]
Приравняем времена ( t_1 ) и ( t_2 ) (так как оба маятника подвешены за одинаковое время):
[
10 \cdot T_1 = 4.41
]
Шаг 3: Находим период первого маятника
Теперь выразим ( T_1 ):
[
T_1 = \frac{4.41}{10} \approx 0.441 , \text{с}
]
Шаг 4: Найдем длину первого маятника
Теперь подставим ( T_1 ) в формулу для его периода:
[
0.441 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}
]
Теперь выразим ( L_1 ):
[
\sqrt{\frac{L_1}{g}} = \frac{0.441}{2\pi}
]
[
\frac{L_1}{g} = \left(\frac{0.441}{2\pi}\right)^2
]
Умножим обе стороны на ( g ):
[
L_1 = g \cdot \left(\frac{0.441}{2\pi}\right)^2
]
Теперь подставим значение ( g ):
[
L_1 \approx 9.81 \times \left(\frac{0.441}{2\pi}\right)^2
]
Вычислим:
[
L_1 \approx 9.81 \times \left(\frac{0.441}{6.2832}\right)^2 \approx 9.81 \times (0.0703)^2 \approx 9.81 \times 0.00494 \approx 0.0486 , \text{м}
]
Ответ
Длина первого маятника ( L_1 \approx 0.0486 , \text{м} ) или около 4.86 см.
