Для решения задачи о вероятности изготовления нестандартной радиолампы, воспользуемся теорией вероятностей и методом оценки выборки. Нам нужно определить наименьшее число радиоламп ( n ), чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что доля нестандартных радиоламп отличается от истинной вероятности (0,04) не более чем на 0,02.
Шаг 1: Задаем условия
- Доля нестандартных радиоламп (параметр успеха) ( p = 0,04 ).
- Необходимое отклонение от истинной вероятности ( d = 0,02 ).
- Уровень доверия (вероятность) ( 1 - \alpha = 0,88 ). Это значит, что уровень значимости ( \alpha = 0,12 ).
Шаг 2: Используем нормальное приближение
Согласно центральной предельной теореме, для больших ( n ) распределение доли ( \hat{p} ) можно аппроксимировать нормальным распределением:
[
\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)
]
Шаг 3: Найдем границы доверительного интервала
Для нормального распределения границы доверительного интервала определяются следующим образом:
[
\hat{p} \in (p - d, p + d)
]
Поэтому мы хотим, чтобы
[
P(p - d < \hat{p} < p + d) = 0,88
]
Это условия можно переписать, используя стандартное нормальное отклонение.
Шаг 4: Определим значение Z-критерия
Для уровня доверия 0,88 (или уровень значимости 0,12) найдём соответствующее значение Z-критерия из таблицы стандартного нормального распределения:
[
P(Z < z) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,06 = 0,94
]
Найдем, что ( z \approx 1,5548).
Шаг 5: Установим неравенство
Сопоставив нормальное распределение с границами доверительного интервала, получим:
[
z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = d
]
Заменим известные значения:
[
1,5548 \cdot \sqrt{\frac{0,04 \cdot 0,96}{n}} = 0,02
]
Шаг 6: Решаем неравенство
Теперь необходимо решить полученное уравнение.
- Поделим обе стороны на ( 1,5548 ):
[
\sqrt{\frac{0,04 \cdot 0,96}{n}} = \frac{0,02}{1,5548}
]
- Возведем обе стороны в квадрат:
[
\frac{0,04 \cdot 0,96}{n} = \left(\frac{0,02}{1,5548}\right)^2
]
- Перепишем это уравнение:
[
n = \frac{0,04 \cdot 0,96}{\left(\frac{0,02}{1,5548}\right)^2}
]
Шаг 7: Подсчитываем
Подсчитаем значение:
- В числителе: ( 0,04 \cdot 0,96 = 0,0384 ).
- В знаменателе: ( \left(\frac{0,02}{1,5548}\right)^2 \approx \left(0,012855\right)^2 \approx 0,000165).
Теперь подставим в формулу:
[
n \approx \frac{0,0384}{0,000165} \approx 232,73
]
Шаг 8: Округление
Поскольку ( n ) должно быть целым числом, округляем до наименьшего целого числа:
[
n \approx 233
]
Ответ
Наименьшее число радиоламп, которое следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что для нестандартных радиоламп вероятность отличается от 0,04 не более чем на 0,02, составляет 233.
