вероятность изготовления нестандартной радиолампы равна 0,04. Какое наименьшее число радиоламп следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что для…

Для решения задачи о вероятности изготовления нестандартной радиолампы, воспользуемся теорией вероятностей и методом оценки выборки. Нам нужно определить наименьшее число радиоламп \( n \), чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что доля нестандартных радиоламп отличается от истинной вероятности (0,04) не более чем на 0,02.

Шаг 1: Задаем условия

• Доля нестандартных радиоламп (параметр успеха) \( p = 0,04 \).
• Необходимое отклонение от истинной вероятности \( d = 0,02 \).
• Уровень доверия (вероятность) \( 1 - \alpha = 0,88 \). Это значит, что уровень значимости \( \alpha = 0,12 \).

Шаг 2: Используем нормальное приближение

Согласно центральной предельной теореме, для больших \( n \) распределение доли \( \hat{p} \) можно аппроксимировать нормальным распределением:

\[ \hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right) \]

Шаг 3: Найдем границы доверительного интервала

Для нормального распределения границы доверительного интервала определяются следующим образом:

\[ \hat{p} \in (p - d, p + d) \]

Поэтому мы хотим, чтобы

\[ P(p - d < \hat{p} < p + d) = 0,88 \]

Это условия можно переписать, используя стандартное нормальное отклонение.

Шаг 4: Определим значение Z-критерия

Для уровня доверия 0,88 (или уровень значимости 0,12) найдём соответствующее значение Z-критерия из таблицы стандартного нормального распределения:

\[ P(Z < z) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,06 = 0,94 \]

Найдем, что \( z \approx 1,5548\).

Шаг 5: Установим неравенство

Сопоставив нормальное распределение с границами доверительного интервала, получим:

\[ z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = d \]

Заменим известные значения:

\[ 1,5548 \cdot \sqrt{\frac{0,04 \cdot 0,96}{n}} = 0,02 \]

Шаг 6: Решаем неравенство

Теперь необходимо решить полученное уравнение.

1. Поделим обе стороны на \( 1,5548 \):

\[ \sqrt{\frac{0,04 \cdot 0,96}{n}} = \frac{0,02}{1,5548} \]

2. Возведем обе стороны в квадрат:

\[ \frac{0,04 \cdot 0,96}{n} = \left(\frac{0,02}{1,5548}\right)^2 \]

3. Перепишем это уравнение:

\[ n = \frac{0,04 \cdot 0,96}{\left(\frac{0,02}{1,5548}\right)^2} \]

Шаг 7: Подсчитываем

Подсчитаем значение:

• В числителе: \( 0,04 \cdot 0,96 = 0,0384 \).
• В знаменателе: \( \left(\frac{0,02}{1,5548}\right)^2 \approx \left(0,012855\right)^2 \approx 0,000165\).

Теперь подставим в формулу:

\[ n \approx \frac{0,0384}{0,000165} \approx 232,73 \]

Шаг 8: Округление

Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округляем до наименьшего целого числа:

\[ n \approx 233 \]

Ответ

Наименьшее число радиоламп, которое следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что для нестандартных радиоламп вероятность отличается от 0,04 не более чем на 0,02, составляет 233.