f(x) =x3+6x2+9x [-4;0]
Для того чтобы понять, что происходит с функцией \( f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x \) на интервале \([-4; 0]\), давайте постепенно разберем все ключевые моменты: мы найдем производную функции, определим критические точки, выясним, как ведет себя функция на заданном интервале, и, возможно, найдем значения функции на концах интервала.
Шаг 1: Определение производной функции
Для начала найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 + 9x) \]
Используем правило дифференцирования:
\[ f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 \]
Шаг 2: Нахождение критических точек
Критические точки возникают, когда производная равна нулю:
\[ 3x^2 + 12x + 9 = 0 \]
Упростим это уравнение, разделив на 3:
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1, b = 4, c = 3 \):
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]
Это дает нам два решения:
\[ x_1 = \frac{-2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Шаг 3: Изучение поведения функции на интервале
Теперь у нас есть критические точки \( x = -1 \) и \( x = -3 \). Мы будем исследовать поведение функции на интервале \([-4; 0]\):
Поделим интервал на части с учетом критических точек:
- \([-4, -3]\)
- \([-3, -1]\)
- \([-1, 0]\)
Посмотрим на значения производной в каждом из этих интервалов, подставив тестовые точки:
Для интервала \([-4, -3]\), возьмем \( x = -4 \): \[ f'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Для интервала \([-3, -1]\), возьмем \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \quad (\text{убывает}) \]
Для интервала \([-1, 0]\), возьмем \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 3(-0.5)^2 + 12(-0.5) + 9 = 0.75 - 6 + 9 = 3.75 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Шаг 4: Нахождение значений функции на концах интервала
Теперь найдем значения функции на концах интервала и в критических точках:
\( f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 96 - 36 = -4 \)
\( f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0 \)
\( f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4 \)
\( f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0 \)
Результат:
- На интервале \([-4; 0]\) функция \( f(x) \) возрастает на отрезке \([-4, -3]\), достигает максимума в точке \(-3\) (\(f(-3) = 0\)), затем убывает на отрезке \([-3, -1]\) и возрастает на отрезке \([-1, 0]\).
- Значения функции на концах интервала:
- \( f(-4) = -4 \)
- \( f(-3) = 0 \)
- \( f(-1) = -4 \)
- \( f(0) = 0 \)
Таким образом, мы подробно рассмотрели функцию и её поведение на заданном интервале. Если у вас есть дополнительные вопросы — не стесняйтесь спрашивать!
