Чтобы найти длину дуги окружности, соответствующей центральному углу, нужно использовать следующую формулу:
[ L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} ]
где:
- ( L ) — длина дуги,
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \theta ) — центральный угол в градусах.
В нашем случае радиус ( r = 15 ) см.
Теперь мы можем рассмотреть каждый из указанных углов отдельно.
1) Для угла 30°:
Подставим значение в формулу:
[
L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{30}{360}
]
Сначала упростим:
[
\frac{30}{360} = \frac{1}{12}
]
Теперь подставим это в уравнение:
[
L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{1}{12} = \frac{30\pi}{12} = \frac{5\pi}{2}
]
2) Для угла 40°:
Используем ту же формулу:
[
L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{40}{360}
]
Упростим:
[
\frac{40}{360} = \frac{1}{9}
]
Теперь подставим:
[
L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{1}{9} = \frac{30\pi}{9} = \frac{10\pi}{3}
]
3) Для угла (\frac{2\pi}{3}) радиан:
Сначала преобразуем радианы в градусы, используя соотношение (180^\circ = \pi ) радиан:
[
\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = 120^\circ
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{120}{360}
]
Теперь упростим:
[
\frac{120}{360} = \frac{1}{3}
]
И подставим в формулу:
[
L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30\pi}{3} = 10\pi
]
Ответы:
- Длина дуги для угла 30°: ( \frac{5\pi}{2} ) см
- Длина дуги для угла 40°: ( \frac{10\pi}{3} ) см
- Длина дуги для угла ( \frac{2\pi}{3} ): ( 10\pi ) см
Таким образом, мы получили длины дуг для указанных углов, используя формулу для длины дуги и необходимые преобразования. Если у вас возникнут вопросы или нужен дополнительный материал, не стесняйтесь спрашивать!
