школе 57 старшеклассников. С помощью жребия выбирают двух старшеклассников. Какова вероятность того, что старшеклассник А. будет выбран?

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения вероятности.

Шаг 1: Понимание задачи

В нашей задаче у нас есть n = 57 старшеклассников, и мы хотим узнать, какова вероятность того, что конкретный старшеклассник (в нашем случае, старшеклассник А) будет выбран при случайном выборе двух человек.

Шаг 2: Общее количество способов выбрать 2 старшеклассников

Сначала рассчитаем общее количество способов выбрать 2 старшеклассников из 57. Это делается с помощью формулы сочетаний (комбинаций), которая выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(n\) — общее количество элементов (в нашем случае, 57 старшеклассников), а \(k\) — количество выбираемых элементов (в нашем случае, 2).

Поэтому

\[ C(57, 2) = \frac{57!}{2!(57-2)!} = \frac{57!}{2! \cdot 55!} \]

Шаг 3: Упрощение расчета

Поскольку \(n!\) (факториал \(n\)) умножается все последующие факторы, мы можем упростить вычисление:

\[ C(57, 2) = \frac{57 \cdot 56}{2 \cdot 1} = \frac{3192}{2} = 1596 \]

Итак, есть 1596 способов выбрать двух старшеклассников из 57.

Шаг 4: Определение favorable outcomes (желаемых исходов)

Теперь определим количество способов, которыми старшеклассник A может быть выбран. Если A выбран, нам нужно будет выбрать еще одного старшеклассника из оставшихся 56. Это можно сделать за:

\[ C(56, 1) = 56 \]

Шаг 5: Вычисление вероятности

Теперь можем вычислить вероятность того, что старшеклассник A будет выбран. Вероятность \(P\) можно рассчитать по формуле:

\[ P(A) = \frac{\text{Количество способов выбрать A}}{\text{Общее количество способов выбрать 2 старшеклассников}} = \frac{56}{1596} \]

Шаг 6: Упрощение вероятности

Теперь упростим эту дробь:

\[ P(A) = \frac{56}{1596} = \frac{7}{199} \approx 0.03518 \]

Результат

Таким образом, вероятность того, что старшеклассник A будет выбран, составляет примерно 0,03518, или 3,518%.

Заключение

Мы решили задачу, начали с определения общего числа способов выбора старшеклассников, затем нашли желаемые исходы и, наконец, вычислили вероятность. Это хороший пример того, как работать с комбинаторикой и вероятностями в задачах.