Реши

В данной задаче нужно найти наименьшее значение выражения \( z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13 \) при заданных условиях:

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 6, \\ x - 2y = 4 \end{cases} \]

Для начала решим систему уравнений. Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым:

\[ 3x + 2y = 6 \] \[ 2(x - 2y) = 8 \implies 2x - 4y = 8 \]

Складываем: \[ 3x + 2y + 2x - 4y = 6 + 8 \] \[ 5x - 2y = 14 \]

Теперь решим систему, подставляя выражение из второго уравнения: \[ x = 2y + 4 \]

Подставляем в первое уравнение: \[ 3(2y + 4) + 2y = 6 \] \[ 6y + 12 + 2y = 6 \] \[ 8y + 12 = 6 \] \[ 8y = -6 \] \[ y = -\frac{3}{4} \]

Теперь находим \( x \): \[ x = 2 \left( -\frac{3}{4} \right) + 4 = -\frac{3}{2} + 4 = \frac{5}{2} \]

Подставим найденные значения \( x \) и \( y \) в выражение для \( z \):

\[ z = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 6\left(\frac{5}{2}\right) + 4\left(-\frac{3}{4}\right) + 13 \]

Вычисления: \[ x^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}, \quad y^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]

\[ 6x = 6 \times \frac{5}{2} = 15, \quad 4y = 4 \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -3 \]

Складываем всё: \[ z = \frac{25}{4} + \frac{9}{16} + 15 - 3 + 13 \]

Приведём к общему знаменателю: \[ z = \frac{25 \times 4}{16} + \frac{9}{16} + \frac{15 \times 16}{16} - \frac{3 \times 16}{16} + \frac{13 \times 16}{16} \]

\[ z = \frac{100}{16} + \frac{9}{16} + \frac{240}{16} - \frac{48}{16} + \frac{208}{16} \]

\[ z = \frac{100 + 9 + 240 - 48 + 208}{16} = \frac{509}{16} \]

Поэтому наименьшее значение \( z \) равно \(\frac{509}{16}\), и это ваша окончательная сумма.