На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают ровно два языка

Давайте решим задачу поэтапно, используя методы теории множеств и принцип включения-исключения. 1. **Соберем исходные данные:** - Пусть \( A \) — количество людей, знающих английский (10 человек). - Пусть \( B \) — количество людей, знающих немецкий (7 человек). - Пусть \( C \) — количество людей, знающих французский (6 человек). - Пусть \( |A \cap B| \) — количество людей, знающих английский и немецкий (5 человек). - Пусть \( |A \cap C| \) — количество людей, знающих английский и французский (4 человека). - Пусть \( |B \cap C| \) — количество людей, знающих немецкий и французский (3 человека). - Пусть \( |A \cap B \cap C| \) — количество людей, знающих все три языка (этот параметр мы пока не знаем и обозначим его как \( x \)). - Общее количество людей: 13. 2. **Применим принцип включения-исключения для вычисления общего количества людей, знающих хотя бы один язык:** \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Подставим известные значения: \[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + x \] Упростим уравнение: \[ 13 = 23 - 12 + x \] \[ 13 = 11 + x \] \[ x = 2 \] Таким образом, 2 человека знают все три языка. 3. **Теперь можем найти количество людей, знающих ровно два языка.** - Количество людей, знающих английский и немецкий, но не французский: \[ |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 5 - 2 = 3 \] - Количество людей, знающих английский и французский, но не немецкий: \[ |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 2 = 2 \] - Количество людей, знающих немецкий и французский, но не английский: \[ |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 3 - 2 = 1 \] 4. **Теперь мы можем подсчитать общее количество людей, знающих ровно два языка:** \[ 3 + 2 + 1 = 6 \] **Ответ:** 6 человек знают ровно два языка.