На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро — немецкий, шестеро —…

Давайте решим задачу поэтапно, используя методы теории множеств и принцип включения-исключения.

1. Соберем исходные данные:

   • Пусть \( A \) — количество людей, знающих английский (10 человек).
   • Пусть \( B \) — количество людей, знающих немецкий (7 человек).
   • Пусть \( C \) — количество людей, знающих французский (6 человек).
   • Пусть \( |A \cap B| \) — количество людей, знающих английский и немецкий (5 человек).
   • Пусть \( |A \cap C| \) — количество людей, знающих английский и французский (4 человека).
   • Пусть \( |B \cap C| \) — количество людей, знающих немецкий и французский (3 человека).
   • Пусть \( |A \cap B \cap C| \) — количество людей, знающих все три языка (этот параметр мы пока не знаем и обозначим его как \( x \)).
   • Общее количество людей: 13.

2. Применим принцип включения-исключения для вычисления общего количества людей, знающих хотя бы один язык: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Подставим известные значения: \[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + x \] Упростим уравнение: \[ 13 = 23 - 12 + x \] \[ 13 = 11 + x \] \[ x = 2 \]

   Таким образом, 2 человека знают все три языка.

3. Теперь можем найти количество людей, знающих ровно два языка.

   • Количество людей, знающих английский и немецкий, но не французский: \[ |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 5 - 2 = 3 \]

   • Количество людей, знающих английский и французский, но не немецкий: \[ |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 2 = 2 \]

   • Количество людей, знающих немецкий и французский, но не английский: \[ |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 3 - 2 = 1 \]

4. Теперь мы можем подсчитать общее количество людей, знающих ровно два языка: \[ 3 + 2 + 1 = 6 \]

Ответ: 6 человек знают ровно два языка.