4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) АC = 3, AВ = 5; б) АС=10, ВС=8; в) ВС = 3v3, AB=6v2.

Question

Задача Задача №3031957

А

Аноним

01 апреля 2025 14:34 · публичный вопрос

А

Аноним 01 апреля 2025 14:34

Ответ нейросети

01 апреля 2025 14:34

Решим задачу на нахождение тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) углов \( A \) и \( B \) в каждом из треугольников.

Для прямоугольного треугольника:

Синус угла \( \theta \) (sin \( \theta \)) = противолежащая сторона / гипотенуза
Косинус угла \( \theta \) (cos \( \theta \)) = прилежащая сторона / гипотенуза
Тангенс угла \( \theta \) (tan \( \theta \)) = противолежащая сторона / прилежащая сторона

Для угла \( A \):

Для угла \( B \):

Теперь рассмотрим каждую из подзадач:

###а) \( AC = 3, AB = 5 \)

Находим длину стороны \( BC \) с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 5^2 = 3^2 + BC^2 \] \[ 25 = 9 + BC^2 \implies BC^2 = 16 \implies BC = 4 \]
Теперь находим синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \):

Для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3} \]
Для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} \]

###б) \( AC = 10, BC = 8 \)

Находим гипотенузу \( AB \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies AB^2 = 10^2 + 8^2 \] \[ AB^2 = 100 + 64 = 164 \implies AB = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]
Находим синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \):

Для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
Для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \]

Находим сторону \( AC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies (6\sqrt{2})^2 = AC^2 + (3\sqrt{3})^2 \] \[ 72 = AC^2 + 27 \implies AC^2 = 72 - 27 = 45 \implies AC = 3\sqrt{5} \]
Находим синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \):

Для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \]
Для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \]

Для задачи а):
- \( \sin A = \frac{4}{5}, \cos A = \frac{3}{5}, \tan A = \frac{4}{3} \)
- \( \sin B = \frac{3}{5}, \cos B = \frac{4}{5}, \tan B = \frac{3}{4} \)
Для задачи б):
- \( \sin A = \frac{4}{\sqrt{41}}, \cos A = \frac{5}{\sqrt{41}}, \tan A = \frac{4}{5} \)
- \( \sin B = \frac{5}{\sqrt{41}}, \cos B = \frac{4}{\sqrt{41}}, \tan B = \frac{5}{4} \)
Для задачи в):
- \( \sin A = \frac{\sqrt{6}}{4}, \cos A = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \tan A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \)
- \( \sin B = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \tan B = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \)