4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) АC = 3, AВ = 5; б) АС=10, ВС=8; в) ВС = 3v3, AB=6v2.

Решим задачу на нахождение тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) углов \( A \) и \( B \) в каждом из треугольников. ### Общая информация Для прямоугольного треугольника: - Синус угла \( \theta \) (sin \( \theta \)) = противолежащая сторона / гипотенуза - Косинус угла \( \theta \) (cos \( \theta \)) = прилежащая сторона / гипотенуза - Тангенс угла \( \theta \) (tan \( \theta \)) = противолежащая сторона / прилежащая сторона Для угла \( A \): - Противолежащая сторона = \( BC \) - Прилежащая сторона = \( AC \) - Гипотенуза = \( AB \) Для угла \( B \): - Противолежащая сторона = \( AC \) - Прилежащая сторона = \( BC \) - Гипотенуза = \( AB \) Теперь рассмотрим каждую из подзадач: ###а) \( AC = 3, AB = 5 \) 1. Находим длину стороны \( BC \) с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 5^2 = 3^2 + BC^2 \] \[ 25 = 9 + BC^2 \implies BC^2 = 16 \implies BC = 4 \] 2. Теперь находим синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \): - Для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3} \] - Для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} \] ###б) \( AC = 10, BC = 8 \) 1. Находим гипотенузу \( AB \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies AB^2 = 10^2 + 8^2 \] \[ AB^2 = 100 + 64 = 164 \implies AB = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \] 2. Находим синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \): - Для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \] - Для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \] ### в) \( BC = 3\sqrt{3}, AB = 6\sqrt{2} \) 1. Находим сторону \( AC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies (6\sqrt{2})^2 = AC^2 + (3\sqrt{3})^2 \] \[ 72 = AC^2 + 27 \implies AC^2 = 72 - 27 = 45 \implies AC = 3\sqrt{5} \] 2. Находим синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \): - Для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \] - Для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \] ### Итоговые результаты - **Для задачи а)**: - \( \sin A = \frac{4}{5}, \cos A = \frac{3}{5}, \tan A = \frac{4}{3} \) - \( \sin B = \frac{3}{5}, \cos B = \frac{4}{5}, \tan B = \frac{3}{4} \) - **Для задачи б)**: - \( \sin A = \frac{4}{\sqrt{41}}, \cos A = \frac{5}{\sqrt{41}}, \tan A = \frac{4}{5} \) - \( \sin B = \frac{5}{\sqrt{41}}, \cos B = \frac{4}{\sqrt{41}}, \tan B = \frac{5}{4} \) - **Для задачи в)**: - \( \sin A = \frac{\sqrt{6}}{4}, \cos A = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \tan A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \) - \( \sin B = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}, \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \tan B = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \)