реши пожалуйста
Давайте разберёмся с данным выражением:
\[ \frac{\left(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}\right)^{15}}{10^9} \]
Шаг 1: Упрощение выражения в числителе
В числителе у нас выражение \(\left(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}\right)^{15}\).
Используем формулу степени произведения: \((a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c\).
\[ \left(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}\right)^{15} = 2^{\frac{3}{5} \cdot 15} \cdot 5^{\frac{2}{5} \cdot 15} \]
Считаем:
\[ 2^{\frac{3}{5} \cdot 15} = 2^9 \]
\[ 5^{\frac{2}{5} \cdot 15} = 5^6 \]
Таким образом, числитель упрощается до:
\[ 2^9 \cdot 5^6 \]
Шаг 2: Вычисление знаменателя
Знаменатель равен \(10^9\).
Можно разложить 10 на простые множители:
\[ 10 = 2 \cdot 5 \]
Поэтому:
\[ 10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9 \]
Шаг 3: Сокращение дроби
Теперь у нас есть:
\[ \frac{2^9 \cdot 5^6}{2^9 \cdot 5^9} \]
Сократим дробь:
- \(2^9\) в числителе и знаменателе сокращаются полностью.
- В числителе остаётся \(5^6\), а в знаменателе \(5^9\).
\[ \frac{5^6}{5^9} = 5^{6-9} = 5^{-3} \]
Что эквивалентно:
\[ \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \]
Ответ:
\[ \frac{1}{125} \]
