Давайте разберёмся с данным выражением:
[
\frac{\left(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}\right)^{15}}{10^9}
]
Шаг 1: Упрощение выражения в числителе
В числителе у нас выражение (\left(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}\right)^{15}).
Используем формулу степени произведения: ((a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c).
[
\left(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}\right)^{15} = 2^{\frac{3}{5} \cdot 15} \cdot 5^{\frac{2}{5} \cdot 15}
]
Считаем:
[
2^{\frac{3}{5} \cdot 15} = 2^9
]
[
5^{\frac{2}{5} \cdot 15} = 5^6
]
Таким образом, числитель упрощается до:
[
2^9 \cdot 5^6
]
Шаг 2: Вычисление знаменателя
Знаменатель равен (10^9).
Можно разложить 10 на простые множители:
[
10 = 2 \cdot 5
]
Поэтому:
[
10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9
]
Шаг 3: Сокращение дроби
Теперь у нас есть:
[
\frac{2^9 \cdot 5^6}{2^9 \cdot 5^9}
]
Сократим дробь:
- (2^9) в числителе и знаменателе сокращаются полностью.
- В числителе остаётся (5^6), а в знаменателе (5^9).
[
\frac{5^6}{5^9} = 5^{6-9} = 5^{-3}
]
Что эквивалентно:
[
\frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}
]
Ответ:
[
\frac{1}{125}
]
