Мотоциклист в первый час проехал 6/21 всего пути, во второй час — 7/12 оставшегося пути, а в третий час — остальной путь, причём во второй час он проехал на 40 км больше, чем в…

Давайте решим задачу о мотоциклисте, который проехал определенное расстояние за три часа. Начнем с обозначения общего расстояния, которое он должен проехать, через \( S \).

1. Первый час:
   В первый час мотоциклист проехал \( \frac{6}{21} S \). Упростим эту дробь:
   \[ \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \] То есть в первый час он проехал \( \frac{2}{7} S \) километров.

2. Остаток пути после первого часа:
   После первого часа у него осталось проехать:
   \[ S - \frac{2}{7} S = \frac{5}{7} S \]

3. Второй час:
   Во второй час мотоциклист проехал \( \frac{7}{12} \) от оставшегося пути:
   \[ \text{Расстояние во второй час} = \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{7}S = \frac{5}{12} S \]

4. Остаток пути после второго часа:
   После второго часа у мотоциклиста осталось проехать:
   \[ \frac{5}{7} S - \frac{5}{12} S \] Чтобы вычислить эту разность, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 12 равен 84. Приведем обе дроби к общему знаменателю:
   \[ \frac{5}{7} S = \frac{60}{84} S \quad \text{и} \quad \frac{5}{12} S = \frac{35}{84} S \] Теперь вычтем:
   \[ \frac{60}{84} S - \frac{35}{84} S = \frac{25}{84} S \]

5. Третий час:
   В третий час он проехал оставшееся расстояние, то есть \( \frac{25}{84} S \). Согласно условиям задачи, во второй час он проехал на 40 км больше, чем в третий час. Запишем это как:
   \[ \frac{5}{12} S = \frac{25}{84} S + 40 \]

6. Решение уравнения:
   Чтобы решить это уравнение, приведём \( \frac{5}{12} S \) к общему знаменателю 84:
   \[ \frac{5}{12} = \frac{35}{84} \] Тогда уравнение становится:
   \[ \frac{35}{84} S = \frac{25}{84} S + 40 \] Переносим все \( S \) влево:
   \[ \frac{35}{84} S - \frac{25}{84} S = 40 \] \[ \frac{10}{84} S = 40 \] Упрощаем дробь:
   \[ \frac{5}{42} S = 40 \] Умножим обе стороны на \( \frac{42}{5} \):
   \[ S = 40 \cdot \frac{42}{5} = 336 \text{ км} \]

7. Проверка:
   Теперь проверим наши вычисления:

   • Первый час: \( \frac{2}{7} \cdot 336 = 96 \text{ км} \)
   • Осталось: \( 336 - 96 = 240 \text{ км} \)
   • Второй час: \( \frac{5}{12} \cdot 336 = 140 \text{ км} \)
   • Осталось: \( 240 - 140 = 100 \text{ км} \)
   • Третий час: \( 100 \text{ км} \)

   Проверяем условие: второй час на 40 км больше третьего: \( 140 - 100 = 40 \text{ км} \). Условие выполняется.

Ответ: Мотоциклист проехал в общей сложности 336 км.